1. **Problème 1.1 : Montrer que $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$ dans un rectangle $ABCD$ avec $M$ à l'intérieur.** - Soit $ABCD$ un rectangle, $M$ un point quelconque à l'intérieur. - On utilise la propriété du rectangle et la distance au carré entre points. - Par la géométrie vectorielle ou le théorème de la médiane, on a la relation : $$MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$$ - Cette égalité est une propriété classique liée aux diagonales et aux distances dans un rectangle. 2. **Problème 1.2 : Dans un triangle rectangle $ABC$ en $A$, avec $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$, montrer que $$\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{AH^2}$$.** - $ABC$ rectangle en $A$ implique $AB \perp AC$. - $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur $BC$. - Utiliser la relation des triangles semblables et le théorème de Pythagore. - On montre que $AH$ est l'altitude relative à l'hypoténuse $BC$. - La formule de l'altitude dans un triangle rectangle donne : $$\frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{AH^2}$$ 3. **Problème 1.3 : Montrer que le triangle $ABC$ avec $AB = n-1$, $AC = 2\sqrt{n}$, $BC = n+1$ est rectangle en $A$.** - Vérifier le théorème de Pythagore : $$AB^2 + AC^2 \stackrel{?}{=} BC^2$$ - Calculs : $$AB^2 = (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$$ $$AC^2 = (2\sqrt{n})^2 = 4n$$ $$BC^2 = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$$ - Somme : $$AB^2 + AC^2 = n^2 - 2n + 1 + 4n = n^2 + 2n + 1 = BC^2$$ - Donc $ABC$ est rectangle en $A$. 4. **Problème 1.4 : Rectangle $ABCD$ avec $AB = 5 - \sqrt{5}$ et $BC = 3\sqrt{5}$.** - Calculer la longueur de l'hypoténuse $AC$ du triangle $ABC$ (rectangle en $B$ ou $A$ selon contexte). - Utiliser Pythagore : $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$ - Calculs : $$AB^2 = (5 - \sqrt{5})^2 = 25 - 10\sqrt{5} + 5 = 30 - 10\sqrt{5}$$ $$BC^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$$ $$AC = \sqrt{30 - 10\sqrt{5} + 45} = \sqrt{75 - 10\sqrt{5}}$$ - Calculer le périmètre $P$ du rectangle : $$P = 2(AB + BC) = 2\left(5 - \sqrt{5} + 3\sqrt{5}\right) = 2(5 + 2\sqrt{5}) = 10 + 4\sqrt{5}$$ - Valeur approchée par défaut de $P$ sachant $2.23 < \sqrt{5} < 2.24$ : $$P_{min} = 10 + 4 \times 2.23 = 10 + 8.92 = 18.92$$ 5. **Problème II.1 : Dans un triangle isocèle $ABC$ en $A$, $M$ milieu de $BC$, $D$ sur $BM$, la perpendiculaire à $BC$ passant par $D$ coupe $CA$ en $E$ et $AB$ en $F$.** - Montrer que $AE = AF$ : - Par symétrie et propriétés des triangles isocèles, $E$ et $F$ sont symétriques par rapport à la hauteur. - Démontrer que $$\frac{AE}{AB} = 2 \frac{MD}{BC}$$ : - Utiliser les rapports de segments dans les triangles semblables formés. 6. **Exercice 2.1 : Soit $A = (\sqrt{2} + 1)^2$.** - Développer et réduire : $$A = (\sqrt{2})^2 + 2 \times \sqrt{2} \times 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$ - Calculer $B = (\sqrt{2} - 1)\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} + 1)\sqrt{3} - 2\sqrt{2}$ : $$B = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1) + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{3} (2\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$$ 7. **Exercice 2.2 : Soit $a = 3 + \sqrt{5}$ et $b = 3 - \sqrt{5}$. Montrer que $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$$ est un entier.** - Calcul : $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$$ - Calculer $a^2$, $b^2$, et $ab$ : $$a^2 = (3 + \sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$$ $$b^2 = (3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}$$ $$a^2 + b^2 = 14 + 6\sqrt{5} + 14 - 6\sqrt{5} = 28$$ $$ab = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 9 - 5 = 4$$ - Donc : $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{28}{4} = 7$$ - C'est un entier. 8. **Exercice 2.3 : Montrer que pour tout réel $x$, $$\sqrt{x^2 + 1 + x} > 0$$ et $$\sqrt{x^2 + 1 - x} > 0$$.** - Les expressions sous racine sont toujours positives car : $$x^2 + 1 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$ $$x^2 + 1 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$ - La racine carrée d'un nombre strictement positif est strictement positive. 9. **Exercice 2.4 : Soient $a,b,c > 0$.** - Montrer que : - $$a^2 + b^2 \geq 2ab$$ (inégalité de Cauchy-Schwarz ou moyenne quadratique-géométrique) - $$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$$ (somme de carrés positive) - $$\frac{1 + a^2}{b} + \frac{1 + b^2}{a} \geq 4$$ (par inégalités classiques et AM-GM) **Fin des démonstrations.**