1. **Énoncé du problème** : Comprendre les généralités sur les fonctions, leurs propriétés principales, et voir des exemples approfondis. 2. **Définition d'une fonction** : Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ d'un ensemble de départ $D$ un unique élément $f(x)$ dans un ensemble d'arrivée $E$. 3. **Notations importantes** : $f : D \to E$, $x \mapsto f(x)$. 4. **Propriétés clés** : - **Domaine de définition** : ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ est défini. - **Image** : ensemble des valeurs prises par $f(x)$. - **Injectivité** : $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. - **Surjectivité** : pour tout $y$ dans $E$, il existe $x$ dans $D$ tel que $f(x) = y$. - **Bijectivité** : fonction à la fois injective et surjective. 5. **Exemple approfondi 1** : Fonction polynomiale $f(x) = x^2 - 4x + 3$. - Domaine : $\mathbb{R}$. - Calcul du discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$. - Racines : $x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = 1$ ou $3$. - Factorisation : $f(x) = (x-1)(x-3)$. - Étude du signe : $f(x) > 0$ pour $x < 1$ ou $x > 3$, $f(x) < 0$ pour $1 < x < 3$. 6. **Exemple approfondi 2** : Fonction rationnelle $g(x) = \frac{1}{x-2}$. - Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. - Asymptote verticale : $x=2$. - Asymptote horizontale : $y=0$. - Étude du signe : $g(x) > 0$ pour $x > 2$, $g(x) < 0$ pour $x < 2$. 7. **Règles importantes** : - Toujours vérifier le domaine avant toute manipulation. - Pour les fonctions composées, $f \circ g(x) = f(g(x))$. - Pour l'inverse d'une bijection $f^{-1}$, on a $f^{-1}(f(x)) = x$. 8. **Conclusion** : Maîtriser les définitions, propriétés, et savoir étudier le domaine, le signe, les racines, et les variations d'une fonction est essentiel pour comprendre les fonctions en général.