1. **Énoncé du problème Exo 1** : Calculer la transformée de Fourier de la fonction $g$ définie par $$g(x) = \begin{cases} t & \text{si } x \in [0, T] \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$ 2. **Rappel de la définition de la transformée de Fourier** : La transformée de Fourier $\hat{g}(\xi)$ d'une fonction $g(x)$ est donnée par $$\hat{g}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) e^{-i 2 \pi \xi x} \, dx$$ 3. **Application à $g$** : Puisque $g(x) = t$ sur $[0,T]$ et $0$ ailleurs, l'intégrale devient $$\hat{g}(\xi) = \int_0^T t e^{-i 2 \pi \xi x} \, dx$$ 4. **Calcul de l'intégrale** : On intègre par rapport à $x$ en considérant $t$ comme constante : $$\hat{g}(\xi) = t \int_0^T e^{-i 2 \pi \xi x} \, dx = t \left[ \frac{e^{-i 2 \pi \xi x}}{-i 2 \pi \xi} \right]_0^T = t \frac{1 - e^{-i 2 \pi \xi T}}{i 2 \pi \xi}$$ 5. **Simplification** : On peut écrire $$\hat{g}(\xi) = t \frac{1 - e^{-i 2 \pi \xi T}}{i 2 \pi \xi} = t \frac{e^{-i \pi \xi T} (e^{i \pi \xi T} - e^{-i \pi \xi T})}{i 2 \pi \xi} = t \frac{e^{-i \pi \xi T} 2 i \sin(\pi \xi T)}{i 2 \pi \xi}$$ En simplifiant les termes, $$\hat{g}(\xi) = t e^{-i \pi \xi T} \frac{\sin(\pi \xi T)}{\pi \xi}$$ 6. **Interprétation** : La transformée de Fourier de $g$ est donc $$\boxed{\hat{g}(\xi) = t e^{-i \pi \xi T} \frac{\sin(\pi \xi T)}{\pi \xi}}$$ Cette expression montre que la transformée est une fonction oscillante modulée par une fonction sinus cardinal (sinc).