1. **Enoncer le problème** : Nous voulons écrire le nombre complexe $1 + \cos\theta + i \sin\theta$ sous forme trigonométrique. 2. **Regrouper les termes** : Le nombre complexe peut être considéré comme $z = (1 + \cos\theta) + i \sin\theta$. 3. **Calculer le module** : Le module $r$ de $z$ est donné par $$r = \sqrt{(1 + \cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2}.$$ Développons : $$r = \sqrt{1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{1 + 2\cos\theta + 1} = \sqrt{2 + 2\cos\theta}.$$ Utilisons l'identité $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$ pour simplifier : $$r = \sqrt{2(1 + \cos\theta)} = \sqrt{4 \cos^2\frac{\theta}{2}} = 2 \left| \cos\frac{\theta}{2} \right|.$$ 4. **Calculer l'argument** : L'argument $\varphi$ est $$\varphi = \arctan\left(\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}\right).$$ Utilisons l'identité tangentielle : $$\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \tan\frac{\theta}{2},$$ ainsi $$\varphi = \frac{\theta}{2}.$$ 5. **Ecrire la forme trigonométrique** : $$z = r (\cos\varphi + i \sin\varphi) = 2 \left| \cos\frac{\theta}{2} \right| \left( \cos\frac{\theta}{2} + i \sin\frac{\theta}{2} \right).$$ **Réponse finale** : $$1 + \cos\theta + i \sin\theta = 2 \left| \cos\frac{\theta}{2} \right| \left( \cos\frac{\theta}{2} + i \sin\frac{\theta}{2} \right).$$