1. **Énoncé du problème :** Exercice 1 : a) Déterminer l'ensemble de définition $D_g$ de la fonction $g(x) = \ln(x^2 - 4)$. b) Calculer la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\exp(x) - x^3}{x - 1}$. c) Montrer que la fonction $f(x) = x^5 + x - 1$ admet une seule racine $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ et que $\alpha \in ]0,1[$. Exercice 2 : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_n = u_{n-1} \left(1 - \frac{1}{2n^2}\right)$ pour $n \geq 1$. a) Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. b) Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire sa convergence. Exercice 3 : Soit la matrice $$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ a) Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2 = A + 2I$. b) En déduire que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$. --- 2. **Solution Exercice 1a : Définition de $g$** - La fonction logarithme $\ln(y)$ est définie pour $y > 0$. - Ici, $y = x^2 - 4$. - Donc, $x^2 - 4 > 0 \iff x^2 > 4 \iff |x| > 2$. Ainsi, $$D_g = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty).$$ --- 3. **Solution Exercice 1b : Calcul de la limite** Calculer $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\exp(x) - x^3}{x - 1}.$$ - Pour $x \to +\infty$, $\exp(x)$ croît beaucoup plus vite que tout polynôme. - Le terme dominant au numérateur est $\exp(x)$. - Le dénominateur est asymptotique à $x$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\exp(x) - x^3}{x - 1} \sim \lim_{x \to +\infty} \frac{\exp(x)}{x} = +\infty.$$ La limite est donc $+\infty$. --- 4. **Solution Exercice 1c : Racine unique de $f$** - $f(x) = x^5 + x - 1$ est une fonction polynomiale continue et strictement croissante car $$f'(x) = 5x^4 + 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$ - Donc, $f$ est strictement croissante, donc injective. Vérifions les signes aux bornes 0 et 1 : - $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$ - $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$ Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha) = 0$. Puisque $f$ est strictement croissante, cette racine est unique. --- 5. **Solution Exercice 2a : Positivité de $u_n$** - $u_0 = 1 > 0$. - Supposons $u_{n-1} > 0$. - Alors, $$u_n = u_{n-1} \left(1 - \frac{1}{2n^2}\right).$$ - Comme $1 - \frac{1}{2n^2} > 0$ pour tout $n \geq 1$, on a $u_n > 0$. Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n$. --- 6. **Solution Exercice 2b : Monotonie et convergence** - Étudions le signe de $u_n - u_{n-1}$ : $$u_n - u_{n-1} = u_{n-1} \left(1 - \frac{1}{2n^2}\right) - u_{n-1} = u_{n-1} \left(- \frac{1}{2n^2}\right) < 0,$$ car $u_{n-1} > 0$. - Donc, $(u_n)$ est strictement décroissante. - $(u_n)$ est positive et décroissante donc convergente par le théorème de convergence des suites monotones. --- 7. **Solution Exercice 3a : Calcul de $A^2$** Calculons $A^2 = A \times A$ : $$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ Calcul des éléments : - $(A^2)_{11} = 0\times0 + 1\times1 + 1\times1 = 2$ - $(A^2)_{12} = 0\times1 + 1\times0 + 1\times1 = 1$ - $(A^2)_{13} = 0\times1 + 1\times1 + 1\times0 = 1$ - $(A^2)_{21} = 1\times0 + 0\times1 + 1\times1 = 1$ - $(A^2)_{22} = 1\times1 + 0\times0 + 1\times1 = 2$ - $(A^2)_{23} = 1\times1 + 0\times1 + 1\times0 = 1$ - $(A^2)_{31} = 1\times0 + 1\times1 + 0\times1 = 1$ - $(A^2)_{32} = 1\times1 + 1\times0 + 0\times1 = 1$ - $(A^2)_{33} = 1\times1 + 1\times1 + 0\times0 = 2$ Donc, $$A^2 = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}.$$ Vérifions $A + 2I$ : $$A + 2I = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} = A^2.$$ L'égalité est vérifiée. --- 8. **Solution Exercice 3b : Inversibilité et inverse de $A$** - De $A^2 = A + 2I$, on a $$A^2 - A - 2I = 0.$$ - Factorisons comme un polynôme en $A$ : $$(A - 2I)(A + I) = 0.$$ - Comme $A$ est une matrice réelle, et $A - 2I$ et $A + I$ sont matrices, cette relation implique que $A$ est inversible car $0$ n'est pas valeur propre (sinon $A - 2I$ ou $A + I$ serait singulière). - Pour trouver $A^{-1}$, isolons $A^{-1}$ : Partons de $$A^2 = A + 2I \implies A^2 - A = 2I \implies A(A - I) = 2I.$$ Multipliant à gauche par $A^{-1}$ (existe), $$A - I = 2A^{-1} \implies A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I).$$ Donc, $$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I)}.$$