1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs questions indépendantes portant sur des fonctions et des propositions mathématiques. --- **a) Définition de la fonction** La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x^2 + x - 6$$ --- **b) Résolution de l'équation $f(x) = 0$ dans $\mathbb{R}$** 1. Posons $f(x) = 0$ : $$x^2 + x - 6 = 0$$ 2. Calculons le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25$$ 3. Les racines sont : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ 4. Donc : $$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$ **Solution :** $x = -3$ ou $x = 2$ --- **c) Négation de la proposition $(p)$ :** $(p)$ : "$\forall (a,b) \in P^2$" (où $P$ est un ensemble donné) La négation de $\forall (a,b) \in P^2, \text{proposition}$ est : $$\exists (a,b) \in P^2 \text{ tel que la proposition est fausse}$$ --- **d) Déterminer que $(p)$ est fausse** Pour montrer que $(p)$ est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple $(a,b) \in P^2$ pour lequel la proposition ne tient pas. --- **e) Détermination de la région $D$ et valeur de vérité des propositions** - $D = \{(a,b) \in P^2 ; x \in \mathbb{R}\}$ (la définition exacte dépend du contexte, mais on suppose $D$ est un domaine dans $P^2$) - Proposition $P_1$ : $\forall x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2 + 1} \geq x + 1$ 1. Étudions l'inégalité : $$\sqrt{x^2 + 1} \geq x + 1$$ 2. Pour $x \geq -\frac{1}{2}$, testons la validité : 3. Au carré (attention au domaine) : $$x^2 + 1 \geq (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ $$x^2 + 1 \geq x^2 + 2x + 1 \implies 0 \geq 2x \implies x \leq 0$$ 4. Donc l'inégalité est vraie pour $x \leq 0$ et à vérifier pour $x > 0$. 5. Pour $x=1$, $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.414$ et $1 + 1 = 2$, donc $1.414 \not\geq 2$. 6. Conclusion : $P_1$ est fausse. - Proposition $P_2$ : $\forall \alpha \in \mathbb{R}, 2\alpha^2 + 2b^2 \geq (\alpha + b)^2$ 1. Développons le membre de droite : $$(\alpha + b)^2 = \alpha^2 + 2\alpha b + b^2$$ 2. L'inégalité devient : $$2\alpha^2 + 2b^2 \geq \alpha^2 + 2\alpha b + b^2$$ $$\Rightarrow \alpha^2 - 2\alpha b + b^2 \geq 0$$ 3. Or, $\alpha^2 - 2\alpha b + b^2 = (\alpha - b)^2 \geq 0$ toujours vraie. 4. Donc $P_2$ est vraie pour tout $\alpha, b \in \mathbb{R}$. --- **3) Montrer que pour tout $x,y \in \mathbb{R}$, si $x \neq y$ alors $3x + 2y \neq 3y + 2x$** 1. Supposons $3x + 2y = 3y + 2x$ 2. Regroupons : $$3x - 2x = 3y - 2y \implies x = y$$ 3. Cela contredit l'hypothèse $x \neq y$ 4. Donc, si $x \neq y$, alors $3x + 2y \neq 3y + 2x$ --- **Exercice 1.5 pts** 1) Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ avec $g(x) = -2$ - Trouver les points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$. 2) Définir la fonction : $$u(x) = \frac{1}{g(x) + 2}$$ - Déterminer l'ensemble de définition $D_1$ de $u$ (valeurs de $x$ pour lesquelles $g(x) + 2 \neq 0$). 3) Déterminer graphiquement l'intervalle $[-1;0]$ et $[0; 0.75]$ (probablement pour $u$ ou $f,g$). 4) Fonction $h$ définie par : $$h(x) = 13g(x) + 1$$ - Étudier graphiquement. 5) Déterminer graphiquement et selon le paramètre $m$ le nombre de solutions de l'équation : $$f(x) = m$$ --- **Exercice 3 (7.5 pts)** 1) Fonctions : $$g(x) = x^2 - 2x, \quad f(x) = \sqrt{x + 1}$$ 2) Déterminer les ensembles de définition : - $D_f = \{x \in \mathbb{R} : x + 1 \geq 0\} = [-1, +\infty[$ - $D_g = \mathbb{R}$ 3) Tableau de variations : - $g(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=1 > 0$, minimum au sommet $x = \frac{2}{2} = 1$. - $f(x)$ est croissante sur $D_f$ car racine carrée est croissante. 4) Tracer $C_f$ et $C_g$ dans un même repère. 5) Fonction $h$ définie par : $$h(x) = |g(x)|$$ 6) Fonction $k$ définie sur $[-1, +\infty[$ par : $$k(x) = g \circ f (x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x+1})$$ 7) Vérification : $$h(x) = (g \circ f)(x)$$ - Pour $x \in [-1, +\infty[$, $f(x) = \sqrt{x+1} \geq 0$, donc $g(f(x)) = (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1} = x + 1 - 2\sqrt{x+1} = h(x)$ 8) Montrer que : $$\forall x \in [-1, +\infty[, h(x) \geq -1$$ - Comme $h(x) = x + 1 - 2\sqrt{x+1}$, posons $t = \sqrt{x+1} \geq 0$. - Alors $h(x) = t^2 - 2t = (t - 1)^2 - 1 \geq -1$ - Donc $h(x) \geq -1$ pour tout $x$ dans le domaine. --- **Réponses finales :** - $f(x) = x^2 + x - 6$ - Solutions de $f(x) = 0$ : $x = -3$ ou $x = 2$ - Négation de $\forall (a,b) \in P^2$ est $\exists (a,b) \in P^2$ tel que la proposition est fausse - $P_1$ est fausse, $P_2$ est vraie - Pour $x \neq y$, $3x + 2y \neq 3y + 2x$ - $D_f = [-1, +\infty[$, $D_g = \mathbb{R}$ - $h(x) = |g(x)|$, $k(x) = g(f(x)) = x + 1 - 2\sqrt{x+1}$ - $h(x) \geq -1$ pour tout $x \in D_f$