1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux exercices. Le premier porte sur une fonction rationnelle $f(x) = \frac{3x - 2}{1 - x}$ définie sur $]-\infty;1[ \cup ]1; +\infty[$ avec une représentation graphique et une tangente au point $A(0;-2)$. Le second concerne une suite définie par récurrence. --- ### Exercice 1 - Partie A 1. Lire graphiquement $f(2)$. 2. Lire graphiquement $f'(0)$, la pente de la tangente $T$ au point $A$. 3. Identifier les équations des deux asymptotes de la courbe $C_f$. 4. Vérifier si $f'(x) < 0$ sur $[-2;0,5]$. --- ### Exercice 1 - Partie B 1. Montrer que $f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$. 2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine et les asymptotes. 3. Étudier les variations de $f$ sur son domaine. 4. Étudier la position de $f$ par rapport à son asymptote horizontale. 5. Trouver l'équation de la tangente à $C_f$ en $x=2$. 6. Exécuter et interpréter l'algorithme donné. --- ### Exercice 2 1. Montrer par récurrence que $U_n = (n+2)^2$. 2. En déduire la limite de la suite $(U_n)$. --- ## Solutions détaillées ### Exercice 1 - Partie A 1. **Lire graphiquement $f(2)$** Sur le graphique, on lit l'ordonnée du point de la courbe en $x=2$. Supposons que $f(2) = y_0$ (valeur lue sur le graphique). 2. **Lire graphiquement $f'(0)$** La dérivée $f'(0)$ est la pente de la tangente $T$ au point $A(0;-2)$. On calcule la pente en utilisant deux points de la tangente ou on lit la pente directement sur le graphique. 3. **Équations des asymptotes** - Asymptote verticale : la fonction est définie sur $]-\infty;1[ \cup ]1; +\infty[$, donc $x=1$ est une asymptote verticale. - Asymptote horizontale : calculons $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$. $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x - 2}{1 - x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - 1} = \frac{3 - 0}{0 - 1} = -3$$ Donc l'asymptote horizontale est $y = -3$. 4. **Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-2;0,5]$** D'après la partie B, $f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$ pour tout $x \neq 1$. Donc $f'(x) > 0$ sur $[-2;0,5]$ (car $1$ n'appartient pas à cet intervalle). Arthur a tort de dire que $f'(x) < 0$ sur cet intervalle. --- ### Exercice 1 - Partie B 1. **Calcul de la dérivée** $$f(x) = \frac{3x - 2}{1 - x}$$ Utilisons la formule de dérivation d'un quotient : $$f'(x) = \frac{(3)(1 - x) - (3x - 2)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{3 - 3x + 3x - 2}{(1 - x)^2} = \frac{1}{(1 - x)^2}$$ 2. **Limites et asymptotes** - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ (car dénominateur tend vers 0 positif) - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$ (car dénominateur tend vers 0 négatif) - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -3$ Asymptotes : verticale $x=1$, horizontale $y=-3$. 3. **Tableau de variations** Puisque $f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$ pour tout $x \neq 1$, la fonction est strictement croissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1; +\infty[$. 4. **Position relative par rapport à l'asymptote horizontale $y=-3$** Calculons $f(x) + 3 = \frac{3x - 2}{1 - x} + 3 = \frac{3x - 2 + 3(1 - x)}{1 - x} = \frac{3x - 2 + 3 - 3x}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$. - Pour $x < 1$, $1 - x > 0$ donc $f(x) + 3 > 0$ donc $f(x) > -3$. - Pour $x > 1$, $1 - x < 0$ donc $f(x) + 3 < 0$ donc $f(x) < -3$. Donc $f$ est au-dessus de l'asymptote pour $x < 1$ et en dessous pour $x > 1$. 5. **Équation de la tangente en $x=2$** Calculons $f(2)$ : $$f(2) = \frac{3 \times 2 - 2}{1 - 2} = \frac{6 - 2}{-1} = \frac{4}{-1} = -4$$ Calculons $f'(2)$ : $$f'(2) = \frac{1}{(1 - 2)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$$ L'équation de la tangente est : $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 1 \times (x - 2) - 4 = x - 6$$ 6. **Exécution de l'algorithme** L'algorithme cherche le plus petit entier $x \geq 2$ tel que $|f(x) + 3| \leq 0.25$. Calculons $f(x) + 3 = \frac{1}{1 - x}$. On veut $\left| \frac{1}{1 - x} \right| \leq 0.25$. Cela équivaut à $|1 - x| \geq 4$. Pour $x \geq 2$, $1 - x \leq -1$, donc $|1 - x| = x - 1$. Donc $x - 1 \geq 4 \Rightarrow x \geq 5$. L'algorithme démarre à $x=2$ et incrémente $x$ jusqu'à ce que la condition soit satisfaite. Donc la valeur retournée est $x=5$. **Interprétation :** Le point $x=5$ est le premier entier à droite de 2 où la fonction $f$ est à moins de 0.25 de son asymptote horizontale $y=-3$. --- ### Exercice 2 1. **Démonstration par récurrence que $U_n = (n+2)^2$** - Initialisation : pour $n=0$, $U_0 = 4$ et $(0+2)^2 = 4$, vrai. - Hérédité : supposons $U_n = (n+2)^2$. Montrons que $U_{n+1} = (n+3)^2$. $$U_{n+1} = U_n + 2n + 5 = (n+2)^2 + 2n + 5$$ Développons : $$(n+2)^2 + 2n + 5 = n^2 + 4n + 4 + 2n + 5 = n^2 + 6n + 9 = (n+3)^2$$ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$. - Conclusion : par récurrence, $U_n = (n+2)^2$ pour tout $n$. 2. **Limite de la suite $(U_n)$** $$\lim_{n \to +\infty} U_n = \lim_{n \to +\infty} (n+2)^2 = +\infty$$ La suite diverge vers l'infini. --- **Résumé final :** - $f(2) = -4$ (graphique ou calcul) - $f'(0)$ est la pente de la tangente au point $A$ (positive) - Asymptotes : $x=1$ (verticale), $y=-3$ (horizontale) - $f'(x) > 0$ sur $[-2;0,5]$, donc Arthur a tort - $f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}$ - $f$ est strictement croissante sur ses intervalles - Tangente en $x=2$ : $y = x - 6$ - Algorithme retourne $5$ - Suite $U_n = (n+2)^2$ et diverge vers $+\infty$