1. **Énoncé du problème :** Décomposer $x=7280$ et $y=4200$ en produit de facteurs premiers. Étape 1 : Factoriser $7280$. $$7280 = 2 \times 3640 = 2^2 \times 1820 = 2^3 \times 910 = 2^4 \times 455$$ $$455 = 5 \times 91 = 5 \times 7 \times 13$$ Donc : $$7280 = 2^4 \times 5 \times 7 \times 13$$ Étape 2 : Factoriser $4200$. $$4200 = 2 \times 2100 = 2^2 \times 1050 = 2^3 \times 525$$ $$525 = 3 \times 175 = 3 \times 5^2 \times 7$$ Donc : $$4200 = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7$$ 2. Déterminer $\mathrm{pgcd}(x,y)$ et $\mathrm{ppcm}(x,y)$. Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs avec leurs plus petits exposants : $$\mathrm{pgcd}(7280,4200) = 2^3 \times 5 \times 7 = 8 \times 5 \times 7 = 280$$ Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers avec leurs plus grands exposants : $$\mathrm{ppcm}(7280,4200) = 2^4 \times 3 \times 5^2 \times 7 \times 13 = 16 \times 3 \times 25 \times 7 \times 13 = 109200$$ 3. Simplifier $\sqrt{xy}$ et $\frac{x}{y}$. Calculons $xy$ : $$xy = 7280 \times 4200$$ On utilise la factorisation : $$xy = (2^4 \times 5 \times 7 \times 13)(2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7) = 2^{7} \times 3 \times 5^{3} \times 7^{2} \times 13$$ Par conséquent : $$\sqrt{xy} = \sqrt{2^{7} \times 3 \times 5^{3} \times 7^{2} \times 13} = 2^{3} \times 5^{1} \times 7 \times \sqrt{2 \times 3 \times 5 \times 13} = 8 \times 5 \times 7 \times \sqrt{390} = 280 \sqrt{390}$$ Simplification de $\frac{x}{y}$ : $$\frac{x}{y} = \frac{2^4 \times 5 \times 7 \times 13}{2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7} = \frac{2^{4-3} \times 5^{1-2} \times 7^{1-1} \times 13}{3} = \frac{2 \times 13}{3 \times 5} = \frac{26}{15}$$ --- 4. **Énoncé exercice 2 - Partie 1** : Étudier la parité de $a=4n+3$ et $b=6n+2$, puis montrer que $a+b$ est multiple de 5. 1.a) Parité de $a$: $4n$ est pair (multiple de 4) donc $4n + 3$ est impair. Parité de $b$: $6n$ est pair, $6n + 2$ est aussi pair. 1.b) Calcul de $a+b$: $$a+b = (4n+3) + (6n+2) = 10n + 5 = 5(2n+1)$$ Donc $a+b$ est un multiple de 5. --- 5. Exercice 2, partie 2: Montrer que si $(n-1)$ est multiple de 8 $(n \geq 1)$, alors $(n^{2}+7)$ est multiple de 8. Soit $n-1=8k$ pour un entier $k$, alors $n=8k+1$. $$n^{2} + 7 = (8k+1)^2 +7 = 64k^2 + 16k + 1 + 7 = 64k^2 + 16k + 8 = 8(8k^2 + 2k +1)$$ Donc $n^{2}+7$ est un multiple de 8. --- 6. Exercice 2, partie 3: Montrer que $n^{4} - n^{2} + 16$ est divisible par 4 pour tout entier $n$. Considérons $n$ modulo 4. - Si $n$ est pair, $n^2$ est divisible par 4, donc $n^{4}$ aussi. Ainsi $$n^{4} - n^{2} + 16 \equiv 0 - 0 + 0 \equiv 0 \mod 4$$ - Si $n$ est impair, $n^2 \equiv 1 \mod 4$, donc $$n^{4} \equiv (n^{2})^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \mod 4$$ Donc $$n^{4} - n^{2} + 16 \equiv 1 - 1 + 0 \equiv 0 \mod 4$$ Dans tous les cas, l'expression est divisible par 4. --- 7. Exercice 3, partie 1a): Montrer que $\vec{AJ} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$ avec $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AC}$ et $\vec{BJ} + \vec{BC} = \vec{0}$. $\vec{BJ} + \vec{BC} = \vec{0} \Rightarrow \vec{BJ} = -\vec{BC} = - (\vec{BA} + \vec{AC}) = -(-\vec{AB} + \vec{AC}) = \vec{AB} - \vec{AC}$. Donc $\vec{J} = \vec{B} + \vec{BJ} = \vec{B} + \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{A} + 2\vec{AB} - \vec{AC}$. Donc, $\vec{AJ} = \vec{J} - \vec{A} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$. --- 8. Exercice 3, partie 1b): Déduire $\vec{IJ} = 2\vec{AB} - \frac{4}{3} \vec{AC}$ en utilisant $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AC}$. $$\vec{IJ} = \vec{AJ} - \vec{AI} = (2\vec{AB} - \vec{AC}) - \frac{1}{3} \vec{AC} = 2\vec{AB} - \frac{4}{3} \vec{AC}$$ --- 9. Exercice 3, partie 2a): Soit $\vec{AK} = -\vec{AB} + \vec{AC}$. Montrer que $\vec{IK} = -\vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$. On a $\vec{I} = \vec{A} + \frac{1}{3} \vec{AC}$ et $\vec{K} = \vec{A} - \vec{AB} + \vec{AC}$. Donc $$\vec{IK} = \vec{K} - \vec{I} = (\vec{A} - \vec{AB} + \vec{AC}) - \left(\vec{A} + \frac{1}{3} \vec{AC}\right) = -\vec{AB} + \vec{AC} - \frac{1}{3} \vec{AC} = -\vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$$ --- 10. Exercice 3, partie 2b): Déduire que $I$, $J$, et $K$ sont alignés. Les vecteurs $\vec{IJ} = 2\vec{AB} - \frac{4}{3} \vec{AC}$ et $\vec{IK} = -\vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$. On montre que $\vec{IK} = -\frac{1}{2} \vec{IJ}$ (car $$-\frac{1}{2} (2\vec{AB} - \frac{4}{3} \vec{AC}) = -\vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC} = \vec{IK}$$ Cela montre que $\vec{IK}$ est un multiple scalaire de $\vec{IJ}$, donc les points $I$, $J$, et $K$ sont alignés. --- 11. Exercice 4, partie 1: Soit $\vec{CB} = 3 \vec{AM}$, $M'$ la projection orthogonale de $M$ sur $(AB)$ parallèle à $(AC)$. Montrer que $AM' = \frac{1}{3} AB$. Car $\vec{CB} = 3\vec{AM} \Rightarrow \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{CB}$. Projection parallèle à $\vec{AC}$ conserve la composante selon $\vec{AB}$. Donc $\vec{AM'} = \frac{1}{3} \vec{AB}$. --- 12. Exercice 4, partie 2a): Soit $I$ le milieu de $[BC]$, $P$ tel que $2\vec{IP} = \vec{AM}$. Montrer que $\vec{IP} = \frac{1}{3} \vec{IB}$. On a $$\vec{IP} = \frac{1}{2} \vec{AM}$$ Or $\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{CB} = \frac{1}{3} (\vec{IB} + \vec{IC})$. Mais $I$ est milieu de $BC$, donc $\vec{IC} = - \vec{IB}$ donc $$\vec{AM} = \frac{1}{3} (\vec{IB} - \vec{IB}) = 0$$ Cela semble contradictoire, réinterprétons correctement: $\vec{CB} = 3 \vec{AM} \Rightarrow \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{CB}$. On a $\vec{IP} = \frac{1}{2} \vec{AM} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \vec{CB} = \frac{1}{6} \vec{CB}$. Or $I$ est milieu de $BC$ donc $\vec{IB} = \frac{1}{2} \vec{CB}$. Donc $$\vec{IP} = \frac{1}{6} \vec{CB} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \vec{CB} = \frac{1}{3} \vec{IB}$$ --- 13. Exercice 4, partie 2b): Déduire que $(AI) \parallel (PM')$. On connaît $\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ et $\vec{PM'} = \vec{P} - \vec{M'} = (\vec{I} + \vec{IP}) - \vec{M'}$. $\vec{PM'} = (\vec{I} + \frac{1}{3} \vec{IB}) - \frac{1}{3} \vec{AB}$ (car $M' = (1/3) AB$). Notons que $\vec{IB} = \vec{AB} - \vec{AI} = \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{AB}$. Donc, $$\vec{PM'} = \vec{I} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \vec{AB} - \frac{1}{3} \vec{AB} = \vec{I} - \frac{1}{6} \vec{AB}$$ Vecteur final simplifié est parallèle à $\vec{AB}$, donc $AI$ et $PM'$ sont parallèles. --- **Réponse finale** : 1. $$7280=2^{4} \times 5 \times 7 \times 13$$ $$4200=2^{3} \times 3 \times 5^{2} \times 7$$ 2. $$\mathrm{pgcd}(x,y)=280$$ $$\mathrm{ppcm}(x,y)=109200$$ 3. $$\sqrt{xy} = 280 \sqrt{390}$$ $$\frac{x}{y} = \frac{26}{15}$$ 4. $a$ impair, $b$ pair, $a+b$ multiple de 5. 5. $n^{2}+7$ multiple de 8 si $(n-1)$ multiple de 8. 6. $n^{4} - n^{2} + 16$ divisible par 4. 7. $\vec{AJ} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$. 8. $\vec{IJ} = 2\vec{AB} - \frac{4}{3} \vec{AC}$. 9. $\vec{IK} = -\vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$. 10. $I$, $J$, $K$ alignés. 11. $AM' = \frac{1}{3} AB$. 12. $\vec{IP} = \frac{1}{3} \vec{IB}$. 13. $(AI) \parallel (PM')$.