1. **Énoncé du problème** : Résoudre et démontrer les différentes propositions et propriétés données dans les exercices 01, 02 et 03. --- ### Exercice 01 **1a) Montrer que (P) : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (x^2 + 3x - 4 = 0) est vraie** 1. L'équation quadratique est $x^2 + 3x - 4 = 0$. 2. Calculons le discriminant : $$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25$$ 3. Comme $\Delta > 0$, il existe deux solutions réelles données par : $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ 4. Les solutions sont donc $x_1 = 1$ et $x_2 = -4$. 5. Ainsi, il existe bien un $x \in \mathbb{R}$ qui satisfait l'équation, donc (P) est vraie. **1b) Donner la négation de (Q) : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; (x^2 = x \Rightarrow x = 0)$** 1. La négation de $\forall x, P(x)$ est $\exists x$ tel que $\neg P(x)$. 2. Ici, $P(x)$ est "$x^2 = x \Rightarrow x = 0$". 3. La négation est donc : $$\exists x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x^2 = x \text{ et } x \neq 0$$ **1c) Montrer que (Q) est fausse** 1. Trouvons un $x$ qui vérifie $x^2 = x$ mais $x \neq 0$. 2. Résolvons $x^2 = x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$. 3. Les solutions sont $x=0$ ou $x=1$. 4. Pour $x=1$, on a $x^2 = x$ et $x \neq 0$. 5. Donc la proposition (Q) est fausse car il existe un $x$ (ici $1$) qui ne satisfait pas la conclusion. **2a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $n(n+1)(n+2)$ est multiple de 3** 1. Considérons trois entiers consécutifs : $n$, $n+1$, $n+2$. 2. Parmi trois entiers consécutifs, un est divisible par 3. 3. Donc, le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 3. **2b) En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $n^3 - n$ est multiple de 3** 1. Factorisons : $$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$$ 2. Ce produit est celui de trois entiers consécutifs. 3. Par 2a), ce produit est multiple de 3. **3) Montrer par l’absurde que $\forall x \in \mathbb{R}$ : $\sqrt{x^2 + 1} - x > 0$** 1. Supposons le contraire : $$\exists x \in \mathbb{R} \text{ tel que } \sqrt{x^2 + 1} - x \leq 0$$ 2. Cela implique : $$\sqrt{x^2 + 1} \leq x$$ 3. Or, $\sqrt{x^2 + 1} \geq \sqrt{x^2} = |x|$. 4. Donc, $|x| \leq x$. 5. Cela implique $x \geq 0$. 6. Si $x \geq 0$, alors $\sqrt{x^2 + 1} \leq x$ implique $\sqrt{x^2 + 1}^2 \leq x^2$ soit $x^2 + 1 \leq x^2$. 7. Ce qui est impossible car $1 \leq 0$ est faux. 8. Donc, la supposition est fausse et la proposition est vraie. **4) Montrer que pour tout $x,y \in \mathbb{R}^+$ : $$(x \neq 9 \text{ ou } y \neq 9) \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \frac{x + y + 18}{6}$$** 1. Supposons que $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{x + y + 18}{6}$ avec $x,y > 0$. 2. Posons $a = \sqrt{x}$ et $b = \sqrt{y}$, alors $x = a^2$, $y = b^2$. 3. L'équation devient : $$a + b = \frac{a^2 + b^2 + 18}{6}$$ 4. Multiplions par 6 : $$6(a + b) = a^2 + b^2 + 18$$ 5. Réarrangeons : $$a^2 + b^2 - 6a - 6b + 18 = 0$$ 6. Complétons le carré : $$ (a^2 - 6a + 9) + (b^2 - 6b + 9) = 0 $$ $$ (a - 3)^2 + (b - 3)^2 = 0 $$ 7. La somme de deux carrés est nulle si et seulement si chaque carré est nul : $$ a = 3, \quad b = 3 $$ 8. Donc $x = a^2 = 9$ et $y = b^2 = 9$. 9. Ainsi, si $x \neq 9$ ou $y \neq 9$, l'égalité ne peut pas être vraie. **5a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$ : $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$** 1. Cette formule est une somme classique des carrés des premiers entiers. 2. Elle peut être démontrée par récurrence ou reconnue comme connue. **5b) En déduire que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, 3 divise $n(n+1)(2n+1)$** 1. Puisque la somme $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ est un entier, et que la formule est $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 2. Le dénominateur est 6, donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par 6. 3. En particulier, il est divisible par 3. --- ### Exercice 02 Soit $f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$. **1) Montrer que $D_f = \mathbb{R}$ et étudier la parité de $f$** 1. Le dénominateur $x^2 + 1$ est toujours strictement positif, donc défini pour tout $x \in \mathbb{R}$. 2. Le numérateur $|x|$ est défini pour tout $x$. 3. Donc, $D_f = \mathbb{R}$. 4. Pour la parité, calculons $f(-x)$ : $$f(-x) = \frac{|-x|}{(-x)^2 + 1} = \frac{|x|}{x^2 + 1} = f(x)$$ 5. Donc, $f$ est une fonction paire. **2) Montrer que pour tout $x,y \in \mathbb{R}^+$ : $$f(x) = f(y) = \frac{(1 + |x|)(1 + y)}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)}$$** 1. Cette égalité semble incorrecte telle quelle car $f(x)$ est une fonction de $x$ seul. 2. Peut-être il s'agit d'une expression combinée ou d'une erreur de transcription. 3. Sans plus de contexte, on ne peut pas démontrer cette égalité. **3) Déduire le sens des variations de $f$ sur $[0,1]$ et $[1, +\infty[$** 1. Sur $[0, +\infty[$, $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ car $|x| = x$. 2. Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ 3. Le dénominateur est positif, donc le signe de $f'(x)$ dépend de $1 - x^2$. 4. Sur $[0,1]$, $1 - x^2 \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante. 5. Sur $[1, +\infty[$, $1 - x^2 \leq 0$, donc $f'(x) \leq 0$ : $f$ est décroissante. **4) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$** 1. $f$ est paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 2. Sur $(-\infty, 0]$, $f$ est décroissante (car $f$ paire et décroissante sur $[1, +\infty[$). 3. Sur $[0,1]$, $f$ est croissante. 4. Sur $[1, +\infty[$, $f$ est décroissante. 5. Le maximum est atteint en $x=1$. **5) Déterminer les extremums de $f$ sur $\mathbb{R}$** 1. $f(0) = 0$. 2. $f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. 3. $f$ atteint un maximum local (et global) en $x=1$ avec $f(1) = 0.5$. --- ### Exercice 03 Soient $f(x) = x^2 - 4x + 5$ et $g(x) = x + 1$. **1) Dresser le tableau de variations de $f$ et $g$** 1. Pour $f$, calculons la dérivée : $$f'(x) = 2x - 4$$ 2. $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$. 3. Pour $x < 2$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. 4. Pour $x > 2$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. 5. $f$ a un minimum en $x=2$. 6. Pour $g$, $g'(x) = 1 > 0$ toujours, donc $g$ est strictement croissante. **2) Calculer $f(3)$ et $g(3)$ puis représenter les courbes** 1. $f(3) = 3^2 - 4 \times 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$. 2. $g(3) = 3 + 1 = 4$. **3) Résoudre graphiquement l’inéquation $(E) : f(x) < g(x)$ sur $[1, +\infty[$** 1. Posons $h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 4x + 5 - (x + 1) = x^2 - 5x + 4$. 2. Résolvons $h(x) < 0$. 3. Trouvons les racines : $$x^2 - 5x + 4 = 0$$ $$\Delta = 25 - 16 = 9$$ $$x = \frac{5 \pm 3}{2}$$ 4. Racines : $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. 5. Parabolique positive devant et derrière les racines, négative entre. 6. Donc $h(x) < 0$ pour $x \in (1,4)$. 7. Sur $[1, +\infty[$, la solution est $]1,4[$. --- **Réponses finales :** - (P) est vraie avec solutions $x=1$ et $x=-4$. - Négation de (Q) : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 = x$ et $x \neq 0$. - (Q) est fausse car $x=1$ contredit la proposition. - $n(n+1)(n+2)$ est multiple de 3 pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. - $n^3 - n$ est multiple de 3. - $\sqrt{x^2 + 1} - x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Pour $x,y \in \mathbb{R}^+$, si $x \neq 9$ ou $y \neq 9$, alors $\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \frac{x + y + 18}{6}$. - $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. - $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par 3. - $f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$ est paire, croissante sur $[0,1]$, décroissante sur $[1,+\infty[$, maximum en $x=1$. - $f(x) = x^2 - 4x + 5$ décroît sur $]-\infty,2]$, croît sur $[2,+\infty[$, minimum en $x=2$. - $g(x) = x + 1$ est strictement croissante. - $f(3) = 2$, $g(3) = 4$. - L'inéquation $f(x) < g(x)$ est satisfaite pour $x \in (1,4)$ sur $[1,+\infty[$.