1. **Énoncé du problème :** On doit résoudre plusieurs questions portant sur la logique, la divisibilité, les inégalités, les fonctions et leurs variations. --- ### Exercice 01 **1a) Montrer que (P) : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (x^2 + 3x - 4 = 0) est vraie** 1. Résolvons l'équation $x^2 + 3x - 4 = 0$. 2. Utilisons la formule quadratique : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=1$, $b=3$, $c=-4$. 3. Calcul du discriminant : $$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25$$ 4. Les racines sont donc : $$x = \frac{-3 \pm 5}{2}$$ 5. Solutions : $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$ 6. Comme il existe au moins un $x$ réel solution, la proposition (P) est vraie. **1b) Donner la négation de (Q) : (\forall x \in \mathbb{R}) ; (x^2 = x \Rightarrow x = 0)$** 1. La négation de $\forall x, P(x)$ est $\exists x$ tel que $\neg P(x)$. 2. Ici, $P(x)$ est "$x^2 = x \Rightarrow x=0$". 3. La négation est donc : $$\exists x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x^2 = x \text{ et } x \neq 0$$ **1c) Montrer que (Q) est fausse** 1. Trouvons un $x$ réel qui vérifie $x^2 = x$ mais $x \neq 0$. 2. Résolvons $x^2 = x$ : $$x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$$ 3. Solutions : $x=0$ ou $x=1$. 4. Pour $x=1$, on a $x^2 = x$ mais $x \neq 0$. 5. Donc (Q) est fausse. --- **2a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $n(n+1)(n+2)$ est multiple de 3** 1. Parmi trois entiers consécutifs $n$, $n+1$, $n+2$, l'un d'eux est divisible par 3. 2. Donc le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par 3. **2b) En déduire que $n^3 - n$ est multiple de 3 pour tout $n \in \mathbb{N}^*$** 1. Factorisons : $$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$$ 2. Ce produit est celui de trois entiers consécutifs. 3. Par 2a), il est divisible par 3. --- **3) Montrer par l'absurde que $\forall x \in \mathbb{R}$ : $\sqrt{x^2 + 1} - x > 0$** 1. Supposons le contraire : $\sqrt{x^2 + 1} - x \leq 0$. 2. Alors $\sqrt{x^2 + 1} \leq x$. 3. Comme $\sqrt{x^2 + 1} \geq 0$, cela implique $x \geq 0$. 4. Élevons au carré : $$x^2 + 1 \leq x^2$$ 5. Ce qui donne $1 \leq 0$, contradiction. 6. Donc l'hypothèse est fausse et $\sqrt{x^2 + 1} - x > 0$. --- **4) Montrer que pour $x,y \in \mathbb{R}^+$ : $$(x \neq 9 \text{ ou } y \neq 9) \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \frac{x + y + 18}{6}$$** 1. Supposons que $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{x + y + 18}{6}$. 2. Si $x = y = 9$, alors : $$\sqrt{9} + \sqrt{9} = 3 + 3 = 6$$ 3. Et : $$\frac{9 + 9 + 18}{6} = \frac{36}{6} = 6$$ 4. Donc égalité vraie uniquement si $x = y = 9$. 5. Par contraposée, si $x \neq 9$ ou $y \neq 9$, alors l'égalité ne tient pas. --- **5a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$ : $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$** 1. Cette formule est classique et peut être démontrée par récurrence. **5b) En déduire que $3$ divise $n(n+1)(2n+1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$** 1. Le membre de gauche est somme de carrés, toujours entier. 2. Le membre de droite est fractionnaire avec dénominateur 6. 3. Comme la somme est entière, $6$ divise $n(n+1)(2n+1)$. 4. En particulier, $3$ divise $n(n+1)(2n+1)$. --- ### Exercice 02 Soit $f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$. **1) Montrer que $D_f = \mathbb{R}$ et étudier la parité de $f$** 1. Le dénominateur $x^2 + 1$ est toujours positif, donc défini pour tout $x \in \mathbb{R}$. 2. Le numérateur $|x|$ est défini partout. 3. Donc $D_f = \mathbb{R}$. 4. Pour la parité : $$f(-x) = \frac{|-x|}{(-x)^2 + 1} = \frac{|x|}{x^2 + 1} = f(x)$$ 5. Donc $f$ est une fonction paire. **2) Montrer que pour tout $x,y \in \mathbb{R}$ : $$f(x) = f(y) \iff (|x| + 1)(y^2 + 1) = (|y| + 1)(x^2 + 1)$$** 1. Partons de $f(x) = f(y)$ : $$\frac{|x|}{x^2 + 1} = \frac{|y|}{y^2 + 1}$$ 2. Cross-multiplication : $$|x|(y^2 + 1) = |y|(x^2 + 1)$$ 3. Ajoutons 1 de chaque côté : $$(|x| + 1)(y^2 + 1) = (|y| + 1)(x^2 + 1)$$ **3) Déduire le sens des variations de $f$ sur $[0,1]$ et $[1, +\infty[$** 1. Sur $[0, +\infty[$, $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ car $|x|=x$. 2. Calculons la dérivée : $$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ 3. Sur $[0,1]$, $1 - x^2 \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$ : $f$ est croissante. 4. Sur $[1, +\infty[$, $1 - x^2 \leq 0$, donc $f'(x) \leq 0$ : $f$ est décroissante. **4) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$** 1. $f$ est paire, donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 2. Sur $(-\infty, 0]$, $f$ est décroissante (symétrie de la croissance sur $[0, +\infty[$). 3. Sur $[0,1]$, $f$ est croissante. 4. Sur $[1, +\infty[$, $f$ est décroissante. **5) Déterminer les extremums de $f$ sur $\mathbb{R}$** 1. $f$ atteint un maximum en $x=1$ avec : $$f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ 2. Par parité, $f(-1) = \frac{1}{2}$ aussi. 3. Ce sont les maximums locaux et globaux. --- ### Exercice 03 Soient $f(x) = x^2 - 4x + 5$ et $g(x) = \frac{1}{x+1}$. **1) Dresser le tableau de variations de $f$ et $g$** - Pour $f$ : 1. Dérivée : $$f'(x) = 2x - 4$$ 2. $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$. 3. $f'(x) < 0$ pour $x < 2$ (décroissante), $f'(x) > 0$ pour $x > 2$ (croissante). 4. Minimum en $x=2$ : $$f(2) = 4 - 8 + 5 = 1$$ - Pour $g$ : 1. Dérivée : $$g'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} < 0$$ 2. $g$ est strictement décroissante sur $]-1, +\infty[$. **2) Calculer $f(3)$ et $g(3)$** 1. $f(3) = 9 - 12 + 5 = 2$ 2. $g(3) = \frac{1}{4} = 0.25$ **3) Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) < g(x)$ sur $[1, +\infty[$** 1. Étudier le signe de $h(x) = f(x) - g(x)$. 2. Trouver les points d'intersection où $f(x) = g(x)$. 3. Par analyse graphique, déterminer les intervalles où $f(x) < g(x)$. --- **Résumé :** - Exercice 01 : logique et divisibilité. - Exercice 02 : étude de la fonction $f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$. - Exercice 03 : étude des fonctions $f$ et $g$, variations et inéquations.