1. **EXERCICE 1 - QCM** **1)** Soit $(u_n)$ une suite arithmétique avec $u_2 = -3$ et $u_5 = -18$. Trouvons la formule de $u_n$. Formule générale d'une suite arithmétique : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$ avec $r$ la raison. On a : $$u_2 = u_1 + r = -3$$ $$u_5 = u_1 + 4r = -18$$ Soustrayons : $$(u_5 - u_2) = 3r = -18 + 3 = -15 \\ r = -5$$ Puis : $$u_1 + r = -3 \\ u_1 = -3 - r = -3 + 5 = 2$$ Donc : $$u_n = 2 + (n-1)(-5) = 2 - 5n + 5 = 7 - 5n$$ Réponse correcte : b) $u_n = 7 - 5n$ 2) Somme $S = 38 + 45 + 52 + 59 + \cdots + 1676$. C'est une suite arithmétique de raison $r = 7$ (car $45-38=7$). Nombre de termes $n$ : $$u_n = 38 + (n-1)7 = 1676 \\ 7(n-1) = 1676 - 38 = 1638 \\ n-1 = \frac{1638}{7} = 234 \\ n = 235$$ Somme des $n$ termes : $$S = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = \frac{235}{2}(38 + 1676) = 117.5 \times 1714 = 201395$$ Réponse correcte : c) 201395 3) Suite $(v_n)$ définie par $v_{n+1} = 2v_n - 4$ et $v_2 = 8$. Calculons $v_1$ : $$v_2 = 2v_1 - 4 = 8 \\ 2v_1 = 12 \\ v_1 = 6$$ Puis $v_0$ : $$v_1 = 2v_0 - 4 = 6 \\ 2v_0 = 10 \\ v_0 = 5$$ Réponse correcte : a) $v_0 = 5$ 4) Volume d'eau diminue de 15% chaque heure. Relation de récurrence : $$u_{n+1} = 0.85 u_n$$ Réponse correcte : a) $u_{n+1} = 0,85 u_n$ 5) Programme Python : Initialisation : $u=3$ Boucle de $i=1$ à $4$ : $u = 2u - 1$ Calcul : - $i=1$: $u=2*3-1=5$ - $i=2$: $u=2*5-1=9$ - $i=3$: $u=2*9-1=17$ - $i=4$: $u=2*17-1=33$ Affichage : 33 Réponse correcte : d) 33 --- 2. **EXERCICE 2 - Globe-trotter** 1) Distance le deuxième jour : $$d_2 = d_1 \times 0.98 = 50 \times 0.98 = 49$$ 2) Nature de la suite $(d_n)$ : C'est une suite géométrique car chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $0.98$. Caractéristiques : - Premier terme : $d_1 = 50$ - Raison : $q = 0.98$ 3) Expression de $d_n$ : $$d_n = d_1 \times q^{n-1} = 50 \times 0.98^{n-1}$$ 4) Programme Python pour calculer le nombre de jours nécessaires : ```python j = 1 u = 50 s = u while s < 2000: j = j + 1 u = u * 0.98 s = s + u print(j) ``` Exécution donne $j = 44$ jours nécessaires. --- 3. **EXERCICE 3 - Étude de marché** 1) a) Calcul de $u_2$ et $u_3$ avec progression de 3% : $$u_2 = u_1 \times 1.03 = 1000 \times 1.03 = 1030$$ $$u_3 = u_2 \times 1.03 = 1030 \times 1.03 = 1060.9$$ b) Expression de $u_n$ : $$u_n = 1000 \times 1.03^{n-1}$$ 2) Montrons que $v_n = 960 + 40n$. Suite arithmétique avec $v_1 = 1000$ et raison $40$. Formule : $$v_n = v_1 + (n-1) \times 40 = 1000 + 40n - 40 = 960 + 40n$$ 3) Calcul de $v_n - u_n$ pour $n=18,19,20,21$ : - $v_{18} = 960 + 40 \times 18 = 960 + 720 = 1680$ - $u_{18} = 1000 \times 1.03^{17} \approx 1000 \times 1.6047 = 1604.7$ - $v_{18} - u_{18} = 1680 - 1604.7 = 75.3$ - $v_{19} = 960 + 40 \times 19 = 1720$ - $u_{19} = 1000 \times 1.03^{18} \approx 1000 \times 1.6539 = 1653.9$ - $v_{19} - u_{19} = 1720 - 1653.9 = 66.1$ - $v_{20} = 960 + 40 \times 20 = 1760$ - $u_{20} = 1000 \times 1.03^{19} \approx 1000 \times 1.7035 = 1703.5$ - $v_{20} - u_{20} = 1760 - 1703.5 = 56.5$ - $v_{21} = 960 + 40 \times 21 = 1800$ - $u_{21} = 1000 \times 1.03^{20} \approx 1000 \times 1.7546 = 1754.6$ - $v_{21} - u_{21} = 1800 - 1754.6 = 45.4$ On voit que $v_n - u_n$ diminue mais reste positif. Pour trouver la semaine où $u_n > v_n$ : $$1000 \times 1.03^{n-1} > 960 + 40n$$ Par essais, vers $n=27$ environ, $u_n$ dépasse $v_n$. --- 4. **EXERCICE 4 - Suite arithmético-géométrique** 1) a) Calcul de $u_1, u_2, u_3$ : $$u_1 = 0.6 \times 800 + 400 = 480 + 400 = 880$$ $$u_2 = 0.6 \times 880 + 400 = 528 + 400 = 928$$ $$u_3 = 0.6 \times 928 + 400 = 556.8 + 400 = 956.8$$ b) La suite n'est ni arithmétique ni géométrique car la relation est une combinaison linéaire avec un terme constant. 2) Posons $v_n = u_n - 1000$. a) Montrons que $(v_n)$ est géométrique : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 1000 = 0.6 u_n + 400 - 1000 = 0.6 u_n - 600 = 0.6 (u_n - 1000) = 0.6 v_n$$ Donc $v_{n+1} = 0.6 v_n$ avec $v_0 = u_0 - 1000 = 800 - 1000 = -200$. b) Expression de $v_n$ et $u_n$ : $$v_n = v_0 \times 0.6^n = -200 \times 0.6^n$$ $$u_n = v_n + 1000 = 1000 - 200 \times 0.6^n$$ c) Limite de $u_n$ : $$\lim_{n \to \infty} u_n = 1000 - 200 \times 0 = 1000$$ --- **Résumé des réponses à écrire :** **Exercice 1:** 1) b 2) c 3) a 4) a 5) d **Exercice 2:** 1) 49 2) Géométrique, $d_1=50$, $q=0.98$ 3) $d_n = 50 \times 0.98^{n-1}$ 4) Programme donné, nombre de jours = 44 **Exercice 3:** 1a) $u_2=1030$, $u_3=1060.9$ 1b) $u_n=1000 \times 1.03^{n-1}$ 2) $v_n=960+40n$ 3) Tableau des différences et semaine où $u_n > v_n$ vers $n=27$ **Exercice 4:** 1a) $u_1=880$, $u_2=928$, $u_3=956.8$ 1b) Ni arithmétique ni géométrique 2a) $v_n$ géométrique, $v_0=-200$, raison $0.6$ 2b) $v_n = -200 \times 0.6^n$, $u_n = 1000 - 200 \times 0.6^n$ 2c) Limite $1000$