1. **Résoudre l'équation** $2x^2 + 5x + 3 = 0$ dans $\mathbb{R}$. 2. **Formule utilisée** : Pour une équation quadratique $ax^2 + bx + c = 0$, les solutions sont données par $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ avec $\Delta = b^2 - 4ac$. 3. Calcul du discriminant : $$\Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1$$ 4. Calcul des racines : $$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{-5 - 1}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$$ $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{-5 + 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$$ 5. **Tableau de signe de** $2x^2 + 5x + 3$ : - Le coefficient de $x^2$ est positif ($a=2>0$), donc la parabole est tournée vers le haut. - Les racines sont $x=-1.5$ et $x=-1$. - Le trinôme est négatif entre les racines et positif en dehors. | x | $-\infty$ | | | | | $+\infty$ | |----|-----------|-------|-------|-------|-------|-----------| | $2x^2 + 5x + 3$ | $+$ | | $\leq 0$ | $\leq 0$ | | $+$ | | S = | $+$ | | $\leq 0$ | $\leq 0$ | | $+$ | Les signes $\leq 0$ sont sur l'intervalle $[-1.5, -1]$. 6. **Compléter le tableau** : | x | $-\infty$ | | $-1.5$ | $-1$ | | $+\infty$ | |----|-----------|-------|--------|-------|-------|-----------| | $2x^2 + 5x + 3$ | $+$ | | $0$ | $0$ | | $+$ | | S = | $+$ | | $\leq 0$ | $\leq 0$ | | $+$ | --- **Exercice ② : Résolution des systèmes par déterminants** 1. Système $(S_1)$ : $$\begin{cases} 3x + 4y = 90 \\ x + y = 25 \end{cases}$$ Calcul du déterminant principal : $$D = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \times 1 - 4 \times 1 = 3 - 4 = -1$$ Calcul de $D_x$ : $$D_x = \begin{vmatrix} 90 & 4 \\ 25 & 1 \end{vmatrix} = 90 \times 1 - 4 \times 25 = 90 - 100 = -10$$ Calcul de $D_y$ : $$D_y = \begin{vmatrix} 3 & 90 \\ 1 & 25 \end{vmatrix} = 3 \times 25 - 90 \times 1 = 75 - 90 = -15$$ Solutions : $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-10}{-1} = 10$$ $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-15}{-1} = 15$$ 2. Système $(S_2)$ : $$\begin{cases} x - 2y = 8 \\ -4x + 8y = 2 \end{cases}$$ Calcul du déterminant principal : $$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 8 \end{vmatrix} = 1 \times 8 - (-2) \times (-4) = 8 - 8 = 0$$ Comme $D=0$, le système est soit incompatible soit a une infinité de solutions. Calcul de $D_x$ : $$D_x = \begin{vmatrix} 8 & -2 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 8 \times 8 - (-2) \times 2 = 64 + 4 = 68$$ Calcul de $D_y$ : $$D_y = \begin{vmatrix} 1 & 8 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 - 8 \times (-4) = 2 + 32 = 34$$ Puisque $D=0$ et $D_x \neq 0$ ou $D_y \neq 0$, le système est incompatible (pas de solution). --- **Exercice ③ : Négation des propositions** 1. $P_1 : \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq x$ Négation : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 < x$. 2. $P_2 : \exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x^2 = y - 3^3$ Négation : $\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x^2 \neq y - 27$. 3. $P_3 : \exists a \in \mathbb{R} : a + 6 < 0 \text{ et } a(a + 2) - 6 = 17$ Négation : $\forall a \in \mathbb{R}, a + 6 \geq 0 \text{ ou } a(a + 2) - 6 \neq 17$. --- **Exercice ④ : Problèmes pratiques** A- Robinet qui fuit à 2,5 litres par heure. 1. Temps pour écouler 15 litres : $$t = \frac{15}{2.5} = 6 \text{ heures} = 6 \times 60 = 360 \text{ minutes}$$ 2. Volume écoulé en 35 minutes : $$V = 2.5 \times \frac{35}{60} = 2.5 \times 0.5833 = 1.4583 \approx 1.46 \text{ litres}$$ B- Effectif du club augmenté de 15% : $$\text{Nouvel effectif} = 340 \times (1 + 0.15) = 340 \times 1.15 = 391$$ --- **Exercice ⑤ : Prix et distance** 1. Prix télévision augmenté de 15% : $$7000 \times 1.15 = 8050$$ 2. Prix réfrigérateur réduit de 5% : $$5000 \times 0.95 = 4750$$ 3. Distance représentée par un segment de 2,4 cm sur une carte à l'échelle $\frac{1}{300000}$ : $$\text{Distance réelle} = 2.4 \times 300000 = 720000 \text{ cm} = 7200 \text{ m} = 7.2 \text{ km}$$