### Exercice 1: Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes: 1. a) Résoudre $2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$ - Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 4 = 0$ - Comme $\Delta=0$, l'équation a une racine double. - $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \times 2} = -\frac{1}{2}$ 2. b) Résoudre $-2x^2 + 4x + 6 = 0$ - Identifions $a=-2$, $b=4$, $c=6$. - $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times (-2) \times 6 = 16 + 48 = 64$ - Deux solutions réelles: $$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \times (-2)} = \frac{-4 - 8}{-4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \times (-2)} = \frac{-4 + 8}{-4} = -1$$ 3. c) Résoudre $-23x^2 + 9x - 2025 = 0$ - $a=-23$, $b=9$, $c=-2025$. - Calcul du discriminant: $$\Delta = 9^2 - 4 \times (-23) \times (-2025) = 81 - 186600 = -186519 < 0$$ - Pas de solution réelle. ### Exercice 2: Forme canonique et tableau de variation Fonctions $f(x) = -2x^2 -8x + 5$ et $g(x) = 2x^2 -10x -2$ 1. Forme canonique de $f$: - $a = -2$, $b = -8$, $c=5$ - Sommet $x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{-4} = 2$ - $f(2) = -2\times 2^2 -8 \times 2 + 5 = -8 -16 + 5 = -19$ - Forme canonique: $$f(x) = -2(x - 2)^2 - 19$$ 2. Forme canonique de $g$: - $a=2$, $b=-10$, $c=-2$ - Sommet $x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$ - $g(2.5) = 2(2.5)^2 - 10 \times 2.5 - 2 = 12.5 - 25 - 2 = -14.5$ - Forme canonique: $$g(x) = 2(x - 2.5)^2 - 14.5$$ 3. Tableau de variation pour $f(x)$: - $a<0$ donc parabole ouverte vers le bas - $f$ atteint un maximum $-19$ en $x=2$ 4. Tableau de variation pour $g(x)$: - $a>0$ donc parabole ouverte vers le haut - $g$ atteint un minimum $-14.5$ en $x=2.5$ ### Exercice 3: Résoudre le système $$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ xy = 2 \end{cases}$$ 1. Exprimer $y$ en fonction de $x$: - $y = 5 - 2x$ 2. Substituer dans $xy = 2$: - $x(5 - 2x) = 2$ - $5x - 2x^2 = 2$ - $-2x^2 + 5x - 2 = 0$ 3. Calcul du discriminant: - $a = -2$, $b=5$, $c=-2$ - $\Delta = 5^2 - 4 \times (-2) \times (-2) = 25 - 16 = 9$ 4. Solutions pour $x$: - $x_1 = \frac{-5 - 3}{2 \times (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$ - $x_2 = \frac{-5 + 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ 5. Trouver $y$: - Pour $x=2$, $y = 5 - 2 \times 2 = 1$ - Pour $x=\frac{1}{2}$, $y = 5 - 2 \times \frac{1}{2} = 4$ Solutions: $(2,1)$ et $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$. ### Exercice 4: Résoudre les équations A) $$\frac{1}{x+2} = \frac{x+3}{x+10}$$ 1. Multiplier par $(x+2)(x+10)$ (chercher valeurs interdites $x \neq -2$, $x \neq -10$): - $x+10 = (x+3)(x+2)$ 2. Développer: - $x + 10 = x^2 + 5x + 6$ - $0 = x^2 + 5x + 6 - x - 10 = x^2 + 4x - 4$ 3. Résoudre $x^2 + 4x -4 = 0$: - $\Delta = 16 + 16 = 32$ - $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{32}}{2} = -2 - 2\sqrt{2}$ - $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{32}}{2} = -2 + 2\sqrt{2}$ B) $$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} = 1$$ 1. Poser $t = x-1$, $t \neq 0$, alors: - $\frac{1}{t} + \frac{1}{t^2} = 1$ 2. Multiplier par $t^2$: - $t + 1 = t^2$ - $t^2 - t -1 = 0$ 3. Résoudre: - $\Delta = 1 + 4 = 5$ - $t_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ - $t_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 4. Revenir à $x$: - $x = t + 1$ - $x_1 = 1 + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ - $x_2 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ### Exercice 5: Dimensions d’un rectangle - Périmètre $P = 2(L + l) = 34 \Rightarrow L + l = 17$ - Aire $A = L \times l = 60$ 1. $l = 17 - L$ 2. $L(17 - L) = 60$ - $-L^2 + 17L - 60 = 0$ - $L^2 - 17L + 60 = 0$ 3. Calcul du discriminant: - $\Delta = 17^2 - 4 \times 60 = 289 - 240 = 49$ 4. Solutions pour $L$: - $L_1 = \frac{17 - 7}{2} = 5$ - $L_2 = \frac{17 + 7}{2} = 12$ 5. Correspondances: - Si $L=5$, alors $l=12$ - Si $L=12$, alors $l=5$ Dimensions possibles: $5$ cm x $12$ cm. ### Exercice 6: Étudier $(E_m): (m+3)x^2 + m x + 1 = 0$ 1. Si $m = -3$: - L'équation devient $0 \times x^2 -3 x +1=0$, soit $-3x + 1 = 0$ - $x = \frac{1}{3}$ 2. Si $m \neq -3$ calcul du discriminant: - $a = m + 3$, $b = m$, $c = 1$ - $$\Delta_m = m^2 - 4 (m+3)(1) = m^2 - 4m - 12 = (m - 6)(m + 2)$$ 3. Une seule solution signifie $\Delta_m = 0$: - $m = 6$ ou $m = -2$ **Résumé:** - Pour $m = -3$, solution unique $x=\frac{1}{3}$ - Pour $m \neq -3$, l'équation a une solution double exactement pour $m=6$ ou $m = -2$.