1. Énoncé du problème : Résoudre l'équation différentielle (E) définie sur ]-1 ; +\infty[ par $$(x + 1) y' - y = x + 1 - e^{\frac{1}{x+1}}$$ avec $y$ fonction inconnue et $y'$ sa dérivée. 2. Résolution de l'équation homogène associée : L'équation homogène est $$(x + 1) y' - y = 0$$ qui se réécrit $$y' = \frac{y}{x+1}$$ C'est une équation à variables séparées. 3. Séparation des variables et intégration : $$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x+1}$$ Intégrons des deux côtés : $$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x+1} \Rightarrow \ln|y| = \ln|x+1| + C$$ Donc $$y = K(x+1)$$ avec $K = e^C$ constante arbitraire. 4. Vérification que $h(x) = (x+1) \left( \ln(x+1) + e^{\frac{1}{x+1}} \right)$ est solution particulière : Calculons $h'(x)$ : $$h'(x) = \frac{d}{dx} \left[(x+1) \ln(x+1) + (x+1) e^{\frac{1}{x+1}} \right]$$ $$= \ln(x+1) + 1 + e^{\frac{1}{x+1}} + (x+1) \cdot e^{\frac{1}{x+1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)$$ $$= \ln(x+1) + 1 + e^{\frac{1}{x+1}} - \frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{x+1}$$ Substituons dans (E) : $$(x+1) h'(x) - h(x) = (x+1) \left( \ln(x+1) + 1 + e^{\frac{1}{x+1}} - \frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{x+1} \right) - (x+1) \left( \ln(x+1) + e^{\frac{1}{x+1}} \right)$$ $$= (x+1)(\ln(x+1) + 1 + e^{\frac{1}{x+1}}) - e^{\frac{1}{x+1}} - (x+1) \ln(x+1) - (x+1) e^{\frac{1}{x+1}}$$ $$= (x+1) + e^{\frac{1}{x+1}} - e^{\frac{1}{x+1}} = x+1$$ Or le membre de droite de (E) est $$x+1 - e^{\frac{1}{x+1}}$$ Donc $$(x+1) h'(x) - h(x) = x+1$$ mais il manque $- e^{\frac{1}{x+1}}$ pour être solution exacte. Il faut vérifier le calcul : Reprenons la dérivée de $h$ plus précisément : $$h(x) = (x+1) \ln(x+1) + (x+1) e^{\frac{1}{x+1}}$$ $$h'(x) = \ln(x+1) + 1 + e^{\frac{1}{x+1}} + (x+1) e^{\frac{1}{x+1}} \cdot \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)$$ $$= \ln(x+1) + 1 + e^{\frac{1}{x+1}} - \frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{x+1}$$ Donc $$(x+1) h'(x) = (x+1) \ln(x+1) + (x+1) + (x+1) e^{\frac{1}{x+1}} - e^{\frac{1}{x+1}}$$ Soustrayons $h(x)$ : $$(x+1) h'(x) - h(x) = (x+1) \ln(x+1) + (x+1) + (x+1) e^{\frac{1}{x+1}} - e^{\frac{1}{x+1}} - (x+1) \ln(x+1) - (x+1) e^{\frac{1}{x+1}}$$ $$= (x+1) - e^{\frac{1}{x+1}}$$ Ce qui correspond exactement au membre de droite de (E). Donc $h$ est bien solution particulière. 5. Solution générale de (E) : $$y = y_h + y_p = K(x+1) + (x+1) \left( \ln(x+1) + e^{\frac{1}{x+1}} \right)$$ 6. Condition initiale $C(0) = e$ : $$C(0) = K(0+1) + (0+1) \left( \ln(1) + e^{1} \right) = K + e$$ Or $C(0) = e$, donc $$K + e = e \Rightarrow K = 0$$ 7. Solution finale : $$\boxed{y = (x+1) \left( \ln(x+1) + e^{\frac{1}{x+1}} \right)}$$