### Exercice 11 1. Trouver A', B' (compléments dans E). - L'univers $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. - $A = \{1, 2, 5, 7\}$, donc le complémentaire de $A$ dans $E$ est $A' = E \setminus A = \{3, 4, 6, 8\}$. - $B = \{2, 3, 5, 8\}$, donc le complémentaire de $B$ dans $E$ est $B' = E \setminus B = \{1, 4, 6, 7\}$. 2. Calculer $A' \cap B$ et $A \cup B'$. - $A' \cap B = \{3,4,6,8\} \cap \{2,3,5,8\} = \{3, 8\}$. - $A \cup B' = \{1,2,5,7\} \cup \{1,4,6,7\} = \{1,2,4,5,6,7\}$. --- ### Exercice 12 1. Donner $A \times B$. - $A = \{a, b\}$, $B = \{1, 2, 3\}$. - Le produit cartésien $A \times B = \{(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)\}$. 2. Donner $B \times A$. - $B \times A = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)\}$. 3. Quelle est la différence entre les deux produits ? - $A \times B$ est l'ensemble des paires où le premier élément vient de $A$ et le second de $B$. - $B \times A$ inverse cet ordre, le premier élément vient de $B$ et le second de $A$. - En général, $A \times B \neq B \times A$ car l'ordre des éléments dans les paires importe. --- ### Exercice 13 Soit $E = \mathbb{N}$ (ensemble des entiers naturels). $A = \{x \in E \mid x < 5\} = \{0,1,2,3,4\}$ (en supposant que $0 \in \mathbb{N}$). $B = \{x \in E \mid x \text{ est pair}\} = \{0,2,4,6,8,\ldots\}$. 1. Les éléments de $A$ sont $\{0,1,2,3,4\}$, et ceux de $B$ sont $\{0,2,4,6,8,\ldots\}$. 2. Calculer : - $A \cap B = \{0,2,4\}$ (éléments dans $A$ et $B$). - $A \cup B = \{0,1,2,3,4,6,8,\ldots\}$ (tous les éléments de $A$ et $B$ combinés). - $A \setminus B = \{1,3\}$ (éléments dans $A$ mais pas dans $B$). --- ### Exercice 14 Pour chaque équation quadratique $ax^{2} + bx + c = 0$: 1. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. 2. Trouver les racines selon $\Delta$. 3. Calculer leur somme $S$ et produit $P$. 4. Vérifier que $S = -\frac{b}{a}$ et $P = \frac{c}{a}$. (a) $x^{2} - 5x + 6 = 0$: - $a=1, b=-5, c=6$. - $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$. - Racines: $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$. - Somme: $S = 2 + 3 = 5$, Produit: $P = 2 \times 3 = 6$. - Vérification: $S = -\frac{-5}{1} = 5$, $P = \frac{6}{1} = 6$. (b) $2x^{2} + 3x - 2 = 0$: - $a=2, b=3, c=-2$. - $\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25$. - Racines: $x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \times 2} = \frac{-8}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$. - Somme: $S = -2 + 0.5 = -1.5$, Produit: $P = -2 \times 0.5 = -1$. - Vérification: $S = -\frac{3}{2} = -1.5$, $P = \frac{-2}{2} = -1$. (c) $x^{2} + 4x + 5 = 0$: - $a=1, b=4, c=5$. - $\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4 < 0$ (pas de racines réelles). - Racines complexes : $x = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i$. - Somme: $S = (-2 + i) + (-2 - i) = -4$, Produit: $P = (-2 + i)(-2 - i) = (-2)^2 - (i)^2 = 4 + 1 = 5$. - Vérification: $S = -\frac{4}{1} = -4$, $P = \frac{5}{1} = 5$. --- ### Exercice 15 Trouver l'équation $x^{2} - Sx + P = 0$ avec les racines de somme $S$ et produit $P$. (a) $S=5$, $P=6$: - Equation: $x^{2} - 5x + 6 = 0$. (b) $S=-3$, $P=2$: - Equation: $x^{2} + 3x + 2 = 0$. (c) $S=0$, $P=-9$: - Equation: $x^{2} - 0x - 9 = x^{2} - 9 = 0$. --- **Résumé:** - Nombre total de questions distinctes traitées: 15.