1. **Énoncé du problème :** Analyser les ensembles $$ E = \left\{\frac{\pi}{2} + \frac{4b\pi}{k} \mid b \in \mathbb{Z} \right\}$$ et $$ F = \left\{\frac{\pi}{6} + \frac{2b\pi}{k} \mid b \in \mathbb{Z} \right\}$$ avec $k \in \mathbb{Z}$. 2. **Question 1 : M9 appartient-il à $E$ ?** - Il faut vérifier si $\frac{9\pi}{k}$ appartient à la forme $\frac{\pi}{2} + \frac{4b\pi}{k}$. - Cette inclusion signifie qu'il existe un $b \in \mathbb{Z}$ tel que $$\frac{9\pi}{k} = \frac{\pi}{2} + \frac{4b\pi}{k}$$ - Divisons chaque terme par $\pi$ : $$\frac{9}{k} = \frac{1}{2} + \frac{4b}{k}$$ - Réarrangeons pour isoler $b$ : $$\frac{9}{k} - \frac{1}{2} = \frac{4b}{k} \, \Rightarrow \, 4b = k \left( \frac{9}{k} - \frac{1}{2} \right) = 9 - \frac{k}{2}$$ - Donc $$b = \frac{9 - \frac{k}{2}}{4} = \frac{18 - k}{8}$$ - Pour que $b$ soit entier, $18 - k$ doit être divisible par 8. Selon la valeur de $k$, on peut vérifier si cette condition est réalisée. 3. **Question 2 : $\frac{9\pi}{k} - \frac{\pi}{6}$ appartient-il à $E$ ?** - On teste si $$\frac{9\pi}{k} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{4b\pi}{k}$$ - Divisons par $\pi$ : $$\frac{9}{k} - \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{4b}{k}$$ - Isolons $b$ : $$\frac{9}{k} - \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{4b}{k} \implies \frac{9}{k} - \frac{2}{3} = \frac{4b}{k}$$ - Multiplions tous les termes par $k$ : $$9 - \frac{2k}{3} = 4b$$ - Donc $$b = \frac{9 - \frac{2k}{3}}{4} = \frac{27 - 2k}{12}$$ - $b$ est entier si $27 - 2k$ est divisible par 12. Cela dépend aussi de $k$. 4. **Question 3 : $A + t.m$ appartient-il à $F$ ? Justifier.** - Il faudrait connaître exactement ce que représentent $A$, $t$, et $m$. - En supposant que $t.m = t \times m$ est une combinaison linéaire et que $A$ est un élément donné, on cherche si $$A + t m \in F = \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{2b\pi}{k} \mid b \in \mathbb{Z} \right\}$$ - Donc il faut qu'il existe un $b$ entier avec $$A + t m = \frac{\pi}{6} + \frac{2b \pi}{k}$$ - Pour justifier, il faut vérifier cette équation en fonction des valeurs de $A$, $t$, $m$, et $k$. **Réponses finales :** - 1) $M9 \in E$ si $b=\frac{18 - k}{8}$ est entier. - 2) $M9 - \frac{\pi}{6} \in E$ si $b=\frac{27 - 2k}{12}$ est entier. - 3) $A + t.m \in F$ s'il existe $b \in \mathbb{Z}$ vérifiant $A + t m = \frac{\pi}{6} + \frac{2b\pi}{k}$. Ces conditions dépendent des valeurs spécifiques de $k$, $A$, $t$, et $m$.