1. **Énoncé du problème :** Déterminer si les ensembles A et B peuvent servir pour les différentes questions données. 2. **a) Servir sur : $1 \leq x \leq 2$** - Ici, on vérifie si les ensembles couvrent l'intervalle fermé de 1 à 2. 3. **b) Décrire : $[0 ; 0.5[ \cup ]3 ; 4] \cup [5 ; 6[$** - On doit vérifier si les ensembles correspondent à l'union des intervalles donnés. 4. **c) Recouvrir les intervalles : $x \in ]-\infty ; 0[ \cup ]+\infty ; +\infty[$** - Cela signifie couvrir tous les réels sauf 0, ce qui est impossible car $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$ couvrent tous les réels sauf 0. 5. **d) Trouver en trois nombres différents les intervalles $[ ; 2]$ et 5 sur une droite graduée** - On cherche trois points distincts qui incluent 2 et 5. 6. **e) Déterminer : $]](]3-5)$ et $8-\frac{1}{2}$** - Cette notation semble incorrecte ou incomplète, probablement une erreur de transcription. 7. **f) Simplifier : $|x-3| - \sqrt{7}| - |x-3| + |x + 4|$** - Simplification : $$|x-3| - \sqrt{7}| - |x-3| + |x + 4| = (|x-3| - |x-3|) - \sqrt{7} + |x+4| = -\sqrt{7} + |x+4|$$ 8. **g) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations : $[2x + 7) = 5$ ; $|x + 6| = (3x + 2)$** - Pour $2x + 7 = 5$ : $$2x = 5 - 7 = -2 \Rightarrow x = -1$$ - Pour $|x + 6| = 3x + 2$ : Cas 1 : $x + 6 \geq 0$ donc $x \geq -6$ et $$x + 6 = 3x + 2 \Rightarrow 6 - 2 = 3x - x \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow x = 2$$ Vérification : $2 \geq -6$ vrai. Cas 2 : $x + 6 < 0$ donc $x < -6$ et $$-(x + 6) = 3x + 2 \Rightarrow -x - 6 = 3x + 2 \Rightarrow -6 - 2 = 3x + x \Rightarrow -8 = 4x \Rightarrow x = -2$$ Vérification : $-2 < -6$ faux, donc rejeté. Solution : $x = 2$ 9. **h) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations : $|2x + 4| \leq 3$ ; $|x-2| > 3$** - $|2x + 4| \leq 3$ équivaut à $$-3 \leq 2x + 4 \leq 3$$ $$-7 \leq 2x \leq -1$$ $$-\frac{7}{2} \leq x \leq -\frac{1}{2}$$ - $|x - 2| > 3$ équivaut à $$x - 2 > 3 \quad \text{ou} \quad x - 2 < -3$$ $$x > 5 \quad \text{ou} \quad x < -1$$ **Réponse finale pour la question 1 :** - a) Oui, si A et B couvrent $[1,2]$. - b) Oui, si A et B couvrent l'union des intervalles donnés. - c) Non, car $]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[$ couvre tous les réels sauf 0. - d) Trois nombres distincts peuvent être $1, 2, 5$. - e) Notation incorrecte, impossible à déterminer. - f) Simplification : $-\sqrt{7} + |x+4|$ - g) Solutions : $x = -1$ et $x = 2$ - h) Solutions : $-\frac{7}{2} \leq x \leq -\frac{1}{2}$ pour la première inéquation, $x < -1$ ou $x > 5$ pour la deuxième.