1. **Énoncé du problème :** Nous allons résoudre plusieurs questions sur les ensembles, les intervalles, la valeur absolue, les fractions périodiques, et des expressions avec racines carrées. --- ### EXERCICE 1 1) Écrire sous forme de valeur absolue l’intervalle $x \in ]-5;3[$. - L'intervalle $]-5;3[$ est centré en $\frac{-5+3}{2} = -1$ avec une demi-longueur de $\frac{3-(-5)}{2} = 4$. - Donc, $|x + 1| < 4$. 2) Traduire l’égalité $x \geq -3$ ou $x < 5$ en intervalle. - $x \geq -3$ correspond à $[-3; +\infty[$. - $x < 5$ correspond à $]-\infty; 5[$. - L'union est donc $]-\infty; +\infty[$ (tout réel), car $x$ est soit $\geq -3$ soit $<5$. 3) Écrire $a = 2,272727...$ sous forme fractionnaire. - $a = 2 + 0,272727...$ - La partie périodique est $0,27\overline{27}$, période 2 chiffres. - Soit $x = 0,272727...$ - Multiplier par 100 : $100x = 27,272727...$ - Soustraire : $100x - x = 27,272727... - 0,272727... = 27$ - Donc $99x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$. - Ainsi, $a = 2 + \frac{3}{11} = \frac{22}{11} + \frac{3}{11} = \frac{25}{11}$. --- ### EXERCICE 1 II On a $A = \{x \in \mathbb{R}, |x - 2| > 2\}$ et $B = \{x \in \mathbb{R}, |3x + 1| \leq 7\}$. (a) Écrire $A$ et $B$ sous forme d’intervalles puis déterminer $A \cap B$. - $|x - 2| > 2$ signifie $x - 2 < -2$ ou $x - 2 > 2$. - Donc $x < 0$ ou $x > 4$, soit $A = ]-\infty; 0[ \cup ]4; +\infty[$. - $|3x + 1| \leq 7$ signifie $-7 \leq 3x + 1 \leq 7$. - Soustraire 1 : $-8 \leq 3x \leq 6$. - Diviser par 3 : $-\frac{8}{3} \leq x \leq 2$. - Donc $B = \left[-\frac{8}{3}; 2\right]$. - Intersection $A \cap B = (]-\infty; 0[ \cup ]4; +\infty[) \cap \left[-\frac{8}{3}; 2\right]$. - $]-\infty; 0[ \cap \left[-\frac{8}{3}; 2\right] = \left[-\frac{8}{3}; 0\right[$. - $]4; +\infty[ \cap \left[-\frac{8}{3}; 2\right] = \emptyset$. - Donc $A \cap B = \left[-\frac{8}{3}; 0\right[$. (b) Donner le maximum de l’intervalle $A$. - $A = ]-\infty; 0[ \cup ]4; +\infty[$. - $A$ n'a pas de maximum car $]-\infty; 0[$ n'a pas de maximum et $]4; +\infty[$ n'a pas de maximum. - Donc $A$ n'a pas de maximum. (c) Donner un minorant et un majorant de $B$. - $B = \left[-\frac{8}{3}; 2\right]$. - Minorant : $-\frac{8}{3}$. - Majorant : $2$. (d) Représenter sur une droite numérique l’ensemble $C = A \cap B = \left[-\frac{8}{3}; 0\right[$. --- ### EXERCICE 2 I. Avec $A = ]-7; 4]$ et $B = [0; +\infty[$. - $A \cap B = ]-7; 4] \cap [0; +\infty[ = [0; 4]$. - $A \cup B = ]-7; 4] \cup [0; +\infty[ = ]-7; +\infty[$. II. Écrire la fraction irréductible de : - $Q = 2,13234234234...$ (non périodique clairement, donc pas fraction rationnelle simple). - $R = 12,1235769...$ (pas de périodicité évidente, donc pas fraction rationnelle simple). III. Soient $x,y > 0$, $M = \sqrt{x + \sqrt{x^2 - y^2}}$, $N = \sqrt{x - \sqrt{x^2 - y^2}}$. 1) Calculer $M \times N$. $$M \times N = \sqrt{x + \sqrt{x^2 - y^2}} \times \sqrt{x - \sqrt{x^2 - y^2}} = \sqrt{(x + \sqrt{x^2 - y^2})(x - \sqrt{x^2 - y^2})} = \sqrt{x^2 - (x^2 - y^2)} = \sqrt{y^2} = y.$$ 2) Montrer que $(M + N)^2 = 2(x + y)$. - Développons : $$(M + N)^2 = M^2 + 2MN + N^2 = (x + \sqrt{x^2 - y^2}) + 2y + (x - \sqrt{x^2 - y^2}) = 2x + 2y = 2(x + y).$$ --- ### EXERCICE 3 1. Écrire la relation $J = \{x \in \mathbb{R}, |x + 1| \geq 2\}$ sous forme d’intervalle. - $|x + 1| \geq 2$ signifie $x + 1 \leq -2$ ou $x + 1 \geq 2$. - Donc $x \leq -3$ ou $x \geq 1$. - En intervalle : $J = ]-\infty; -3] \cup [1; +\infty[$. --- **Réponses finales :** - 1) $|x + 1| < 4$ - 2) $]-\infty; +\infty[$ - 3) $\frac{25}{11}$ - II a) $A = ]-\infty; 0[ \cup ]4; +\infty[$, $B = \left[-\frac{8}{3}; 2\right]$, $A \cap B = \left[-\frac{8}{3}; 0\right[$ - II b) $A$ n'a pas de maximum - II c) Minorant de $B = -\frac{8}{3}$, majorant de $B = 2$ - II d) $C = \left[-\frac{8}{3}; 0\right[$ - EX2 I) $A \cap B = [0;4]$, $A \cup B = ]-7; +\infty[$ - EX2 II) $Q$ et $R$ non périodiques, pas de fraction simple - EX2 III 1) $M \times N = y$ - EX2 III 2) $(M + N)^2 = 2(x + y)$ - EX3 1) $J = ]-\infty; -3] \cup [1; +\infty[$