1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs questions sur les ensembles et leurs inclusions. --- 2. **Rappel de la définition d'inclusion :** Un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ (noté $A \subset B$) si tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$. Formellement : $$A \subset B \iff \forall x \in A, x \in B$$ --- 3. **Exercice i : Montrer que $A = \left\{ \frac{8^n - 4^n}{2^n - 1} \mid n \in \mathbb{N} \right\}$ est inclus dans $\mathbb{N}$** - Pour $n \in \mathbb{N}$, calculons $a_n = \frac{8^n - 4^n}{2^n - 1}$. - Remarquons que $8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$ et $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. - Donc : $$a_n = \frac{2^{3n} - 2^{2n}}{2^n - 1} = \frac{2^{2n}(2^n - 1)}{2^n - 1} = 2^{2n}$$ - Comme $2^{2n} \in \mathbb{N}$, on a $a_n \in \mathbb{N}$ pour tout $n$. - Conclusion : $A \subset \mathbb{N}$. --- 4. **Exercice ii : Montrer que $E = \left\{ \frac{a}{1 + a^2} \mid a \in \mathbb{R}^+ \right\} \subset [0,1[$ et vérifier que $\frac{3}{4} \notin E$** - Pour $a > 0$, considérons $f(a) = \frac{a}{1 + a^2}$. - Étudions les bornes de $f$ : - $f(a) > 0$ car $a > 0$ et $1 + a^2 > 0$. - Pour la borne supérieure, calculons la dérivée : $$f'(a) = \frac{(1 + a^2) \cdot 1 - a \cdot 2a}{(1 + a^2)^2} = \frac{1 + a^2 - 2a^2}{(1 + a^2)^2} = \frac{1 - a^2}{(1 + a^2)^2}$$ - $f'(a) = 0$ pour $a = 1$. - Pour $a < 1$, $f'(a) > 0$ donc $f$ croît sur $(0,1)$. - Pour $a > 1$, $f'(a) < 0$ donc $f$ décroît sur $(1, +\infty)$. - Donc $f$ atteint un maximum en $a=1$ : $$f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ - Ainsi, $f(a) \in ]0, \frac{1}{2}] \subset [0,1[$. - Vérifions si $\frac{3}{4} \in E$ : - Cherchons $a > 0$ tel que $\frac{a}{1 + a^2} = \frac{3}{4}$. - Multiplions : $4a = 3 + 3a^2$. - Réarrangeons : $3a^2 - 4a + 3 = 0$. - Calcul du discriminant : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 16 - 36 = -20 < 0$$ - Pas de solution réelle, donc $\frac{3}{4} \notin E$. - Conclusion : $E \subset [0,1[$ et $\frac{3}{4} \notin E$. --- 5. **Exercice iii : Soient $A = \left\{ \frac{\pi}{2} + k \frac{\pi}{6} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$ et $B = \left\{ \frac{\pi}{2} + k \frac{\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$** **a. Montrer que $B \subset A$** - Tout élément de $B$ est de la forme $b_k = \frac{\pi}{2} + k \frac{\pi}{3}$. - Or $\frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\pi}{6}$. - Donc $b_k = \frac{\pi}{2} + 2k \frac{\pi}{6}$. - Comme $2k \in \mathbb{Z}$, $b_k \in A$. - Donc $B \subset A$. **b. Montrer que $\pi \in A$ et $\pi \notin B$** - Vérifions si $\pi \in A$ : - Cherchons $k$ tel que $\frac{\pi}{2} + k \frac{\pi}{6} = \pi$. - $k \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. - $k = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} = 3 \in \mathbb{Z}$. - Donc $\pi \in A$. - Vérifions si $\pi \in B$ : - Cherchons $k$ tel que $\frac{\pi}{2} + k \frac{\pi}{3} = \pi$. - $k \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. - $k = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}$. - Donc $\pi \notin B$. - Conclusion : $B \subset A$ mais $B \neq A$ car $\pi \in A$ et $\pi \notin B$. --- **Résumé final :** - $A \subset \mathbb{N}$. - $E \subset [0,1[$ et $\frac{3}{4} \notin E$. - $B \subset A$ mais $B \neq A$.