1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs propositions et fonctions à analyser, démontrer et étudier. --- ### Exercice 1 **1) Proposition (P) :** $(1 + \sqrt{2})^2 = 3$ ou $10^{-3} = 0,001$. - Calculons $(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$. - Or $2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828$, donc $(1 + \sqrt{2})^2 \approx 5.828 \neq 3$. - La deuxième partie $10^{-3} = 0.001$ est vraie. Donc $(P)$ est une disjonction vraie car la deuxième partie est vraie. **2) Proposition (Q) :** $(\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 + y + 5 = 0$. - a) Négation de $(Q)$ : $(\exists y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 + y + 5 \neq 0$. - b) Pour $y = 0$, $x^2 + 0 + 5 = x^2 + 5 \geq 5 > 0$ pour tout $x$, donc pas de solution. - Donc $(Q)$ est fausse. **3) Montrer par récurrence que $9^{2n+1} - 1$ est divisible par 8 pour tout $n \in \mathbb{N}$. - Initialisation : $n=0$, $9^{1} - 1 = 9 - 1 = 8$, divisible par 8. - Hypothèse : Supposons vrai pour $n=k$, donc $9^{2k+1} - 1$ divisible par 8. - Montrons pour $n=k+1$ : $$9^{2(k+1)+1} - 1 = 9^{2k+3} - 1 = 9^2 \cdot 9^{2k+1} - 1 = 81 \cdot 9^{2k+1} - 1$$ - Écrivons $81 \cdot 9^{2k+1} - 1 = 81 \cdot 9^{2k+1} - 81 + 80 = 81(9^{2k+1} - 1) + 80$. - Par hypothèse, $9^{2k+1} - 1$ est divisible par 8, donc $81(9^{2k+1} - 1)$ est divisible par 8. - $80$ est divisible par 8. - Donc $9^{2(k+1)+1} - 1$ est divisible par 8. **4) Montrer par contraposée que : $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x \neq y \text{ et } x + y \neq -4 \implies (x+2)^2 \neq (y+2)^2$$ - Contraposée : Si $(x+2)^2 = (y+2)^2$, alors $x = y$ ou $x + y = -4$. - En effet, $(x+2)^2 = (y+2)^2 \implies (x+2 - (y+2))(x+2 + y+2) = 0$. - Donc $(x - y)(x + y + 4) = 0$. - Donc $x = y$ ou $x + y = -4$. --- ### Exercice 2 Soit $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 1}$. **1) Domaine de définition $D_f$ :** - Dénominateur $x^2 + 1 \neq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Donc $D_f = \mathbb{R}$. **2) Montrer que $f$ est paire :** - Calculons $f(-x) = \frac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 1} = f(x)$. - Donc $f$ est paire. **3) Majoration et minoration :** - $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{3}{x^2 + 1}$ (voir 4a). - Comme $x^2 + 1 \geq 1$, alors $\frac{3}{x^2 + 1} \leq 3$. - Donc $f(x) \geq 1 - 3 = -2$. - Et $f(x) < 1$ car $\frac{3}{x^2 + 1} > 0$. - Donc $-2 \leq f(x) < 1$. **4a) Vérification :** $$f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 3}{x^2 + 1} = 1 - \frac{3}{x^2 + 1}$$ **4b) Montrer que $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$ :** - Dérivée : $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1 - x^2 + 2)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x \cdot 3}{(x^2 + 1)^2} = \frac{6x}{(x^2 + 1)^2}$$ - Pour $x \geq 0$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$. --- ### Exercice 3 Soient : - $f(x) = x^2 - 4x + 3$ - $g(x) = \frac{x + 4}{x - 2}$ - $h(x) = \sqrt{x - 1}$ **1) Domaines :** - $D_f = \mathbb{R}$ (polynôme). - $D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ (dénominateur non nul). - $D_h = [1, +\infty[$ (sous-radical positif). **2) Tableaux de variation :** - $f'(x) = 2x - 4$. - $f'(x) = 0 \implies x = 2$. - $f$ décroît sur $]-\infty, 2]$, croît sur $[2, +\infty[$. - $g'(x) = \frac{(1)(x-2) - (x+4)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 4}{(x-2)^2} = \frac{-6}{(x-2)^2} < 0$ pour $x \neq 2$. - $g$ est strictement décroissante sur ses intervalles de définition. - $h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} > 0$ pour $x > 1$. - $h$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$. **3) Compléter les tableaux :** | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |-----|-----|-----|-----|-----|-----| | f(x)| $f(0)=3$ | $f(1)=0$ | $f(2)=-1$ | $f(3)=0$ | $f(4)=3$ | | x | 0 | 1 | 3 | 4 | 5 | |-----|-----|-----|-----|-----|-----| | g(x)| $g(0) = \frac{4}{-2} = -2$ | $g(1) = \frac{5}{-1} = -5$ | $g(3) = \frac{7}{1} = 7$ | $g(4) = \frac{8}{2} = 4$ | $g(5) = \frac{9}{3} = 3$ | **4) Courbes (C_f), (C_g), (C_h) :** - Représenter graphiquement les fonctions dans un repère orthonormé. **5) Fonction composée $t = f \circ h$ :** - a) Pour $x \geq 1$, $$t(x) = f(h(x)) = f(\sqrt{x-1}) = (\sqrt{x-1})^2 - 4\sqrt{x-1} + 3 = x - 1 - 4\sqrt{x-1} + 3 = x + 2 - 4\sqrt{x-1}$$ - b) Étudier la monotonie de $t$ sur $[1, +\infty[$ : - Dérivée : $$t'(x) = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x-1}}$$ - Pour $x > 1$, $t'(x) \geq 0 \iff 1 \geq \frac{2}{\sqrt{x-1}} \iff \sqrt{x-1} \geq 2 \iff x - 1 \geq 4 \iff x \geq 5$. - Donc $t$ décroît sur $[1,5]$ et croît sur $[5, +\infty[$. --- **Réponses finales :** - (P) est vraie. - (Q) est fausse. - $9^{2n+1} - 1$ divisible par 8. - Contraposée démontrée. - $D_f = \mathbb{R}$, $f$ paire, $-2 \leq f(x) < 1$, $f$ croissante sur $[0,+\infty[$. - Domaines et variations de $f,g,h$ donnés. - Tables complétées. - Expression et monotonie de $t$ données.