1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;5]$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ avec dérivée $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$. **Exercice 1** 1) Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1;5]$. 2) Trouver l'équation de la tangente $T_0$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$. 3) Trouver l'autre point où la tangente est parallèle à $T_0$. --- **Étapes pour Exercice 1 :** 1. Le signe de $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ dépend des racines $x=1$ et $x=3$. - Pour $x < 1$, $(x-1)<0$ et $(x-3)<0$ donc $f'(x) = 3 imes (-) imes (-) = +$. - Pour $1 < x < 3$, $(x-1)>0$ et $(x-3)<0$ donc $f'(x) = 3 imes (+) imes (-) = -$. - Pour $x > 3$, $(x-1)>0$ et $(x-3)>0$ donc $f'(x) = 3 imes (+) imes (+) = +$. **Tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1;5]$ :** $$ \begin{array}{c|ccc} x & -1 & 1 & 3 & 5 \\ f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array} $$ 2. L'équation de la tangente en $x=0$ est donnée par : $$ T_0 : y = f'(0)(x - 0) + f(0) $$ Calculons $f(0)$ : $$ f(0) = 0^3 - 6 \times 0^2 + 9 \times 0 + 1 = 1 $$ Calculons $f'(0)$ : $$ f'(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9 $$ Donc : $$ T_0 : y = 9x + 1 $$ 3. Cherchons $x$ tel que la tangente en $x$ soit parallèle à $T_0$, donc $f'(x) = 9$. On a : $$ 3(x-1)(x-3) = 9 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 3 $$ Développons : $$ x^2 - 4x + 3 = 3 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 $$ Factorisons : $$ x(x - 4) = 0 $$ Solutions : $x=0$ (déjà connu) ou $x=4$. Calculons $f(4)$ : $$ f(4) = 4^3 - 6 \times 4^2 + 9 \times 4 + 1 = 64 - 96 + 36 + 1 = 5 $$ L'équation de la tangente en $x=4$ est donc aussi $y=9x + b$. Calculons $b$ : $$ 5 = 9 \times 4 + b \Rightarrow b = 5 - 36 = -31 $$ Donc l'autre tangente parallèle est : $$ y = 9x - 31 $$ --- **Exercice 2** Données : - $p(F) = 0.52$, $p(\overline{F}) = 0.48$ - $p(S) = 0.18$, $p(\overline{S}) = 0.82$ - Parmi les hommes, $p_{\overline{F}}(S) = 0.175$ 1) Préciser $p(S)$ et $p_F(S)$. - $p(S) = 0.18$ (donné) - $p_F(S)$ est la probabilité qu'un demandeur soit sans expérience sachant que c'est une femme. On sait que : $$ p(S) = p(F) \times p_F(S) + p(\overline{F}) \times p_{\overline{F}}(S) $$ Donc : $$ 0.18 = 0.52 \times p_F(S) + 0.48 \times 0.175 $$ Calculons : $$ 0.18 = 0.52 \times p_F(S) + 0.084 $$ $$ 0.52 \times p_F(S) = 0.18 - 0.084 = 0.096 $$ $$ p_F(S) = \frac{0.096}{0.52} \approx 0.1846 $$ 2) Compléter l'arbre pondéré : - Branche $F$ : $p(F) = 0.52$ - Branche $\overline{F}$ : $p(\overline{F}) = 0.48$ - De $F$ vers $S$ : $p_F(S) \approx 0.1846$ - De $F$ vers $\overline{S}$ : $1 - 0.1846 = 0.8154$ - De $\overline{F}$ vers $S$ : $p_{\overline{F}}(S) = 0.175$ - De $\overline{F}$ vers $\overline{S}$ : $1 - 0.175 = 0.825$ 3) Calcul de $p(\overline{F} \cap S)$ : $$ p(\overline{F} \cap S) = p(\overline{F}) \times p_{\overline{F}}(S) = 0.48 \times 0.175 = 0.084 $$ Interprétation : 8,4 % des demandeurs sont des hommes sans expérience. 4) Indépendance entre $F$ et $S$ ? Deux événements sont indépendants si $p(F \cap S) = p(F) \times p(S)$. Calculons $p(F \cap S)$ : $$ p(F \cap S) = p(F) \times p_F(S) = 0.52 \times 0.1846 = 0.096 $$ Calculons $p(F) \times p(S)$ : $$ 0.52 \times 0.18 = 0.0936 $$ Comme $0.096 \neq 0.0936$, $F$ et $S$ ne sont pas indépendants. 5) Probabilité que ce soit un homme sachant que le demandeur est sans expérience : $$ p_{S}(\overline{F}) = \frac{p(\overline{F} \cap S)}{p(S)} = \frac{0.084}{0.18} = 0.4667 $$ 6) Probabilité que ce soit un demandeur sans expérience sachant que c'est une femme : $$ p_F(S) \approx 0.1846 $$ --- **Résumé final :** - Tableau de signe de $f'(x)$ : positif sur $[-1,1[$, négatif sur $]1,3[$, positif sur $]3,5]$. - Équation de la tangente en $x=0$ : $y=9x+1$. - Autre point avec tangente parallèle : $x=4$, tangente $y=9x-31$. - Probabilités : $p(S)=0.18$, $p_F(S) \approx 0.1846$, $p(\overline{F} \cap S)=0.084$. - $F$ et $S$ ne sont pas indépendants. - $p_S(\overline{F})=0.4667$. - $p_F(S) \approx 0.1846$.