1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ définie sur $[-1;5]$ avec sa dérivée $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$. Nous devons : - dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1;5]$, - déterminer l'équation de la tangente $T_0$ à la courbe au point d'abscisse 0, - trouver l'autre point où la tangente est parallèle à $T_0$. 2. **Tableau de signe de $f'(x)$ :** - $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$ s'annule en $x=1$ et $x=3$. - Pour $x < 1$, $(x-1)<0$ et $(x-3)<0$ donc $f'(x) = 3 imes (-) imes (-) = +$. - Pour $1 < x < 3$, $(x-1)>0$ et $(x-3)<0$ donc $f'(x) = 3 imes (+) imes (-) = -$. - Pour $x > 3$, $(x-1)>0$ et $(x-3)>0$ donc $f'(x) = 3 imes (+) imes (+) = +$. **Tableau de signe :** $$ \begin{array}{c|ccc} x & -1 & 1 & 3 & 5 \\ f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array} $$ 3. **Équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse 0 :** - La pente de la tangente est $f'(0) = 3(0-1)(0-3) = 3 imes (-1) imes (-3) = 9$. - La valeur de la fonction en 0 est $f(0) = 0^3 - 6 imes 0^2 + 9 imes 0 + 1 = 1$. - L'équation de la tangente en $x=0$ est : $$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 9x + 1$$ 4. **Autre point où la tangente est parallèle à $T_0$ :** - La pente doit être égale à 9, donc résoudre $f'(x) = 9$. - $3(x-1)(x-3) = 9 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 3$. - Développons : $x^2 - 4x + 3 = 3$. - Simplifions : $x^2 - 4x + 3 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0$. - Factorisons : $x(x - 4) = 0$. - Solutions : $x=0$ (déjà connu) ou $x=4$. Calculons $f(4)$ : $$f(4) = 4^3 - 6 imes 4^2 + 9 imes 4 + 1 = 64 - 96 + 36 + 1 = 5$$ Donc l'autre point est $(4,5)$. --- **Exercice 2 :** 1. **Probabilités données :** - $p(F) = 0.52$ (femmes), $p(\overline{F}) = 0.48$ (hommes). - $p(S) = 0.18$ (sans expérience). - Parmi les hommes, $p_{\overline{F}}(S) = 0.175$. 2. **Complétons l'arbre pondéré :** - $p(F) = 0.52$, donc $p(F \cap S) = p(F) \times p_F(S)$. - $p(\overline{F}) = 0.48$, $p_{\overline{F}}(S) = 0.175$ donc $p(\overline{F} \cap S) = 0.48 \times 0.175 = 0.084$. - Puisque $p(S) = 0.18$, on a $p(F \cap S) = p(S) - p(\overline{F} \cap S) = 0.18 - 0.084 = 0.096$. - Donc $p_F(S) = \frac{p(F \cap S)}{p(F)} = \frac{0.096}{0.52} \approx 0.1846$. 3. **Démonstration de $p(\overline{F} \cap S) = 0.084$ :** - $p(\overline{F} \cap S) = p(\overline{F}) \times p_{\overline{F}}(S) = 0.48 \times 0.175 = 0.084$. - Cela signifie que 8.4 % des demandeurs d'emploi sont des hommes sans expérience. 4. **Indépendance des événements $F$ et $S$ ?** - Vérifions si $p(F \cap S) = p(F) \times p(S)$. - $p(F) \times p(S) = 0.52 \times 0.18 = 0.0936$. - Or $p(F \cap S) = 0.096 \neq 0.0936$. - Les événements $F$ et $S$ ne sont donc pas indépendants. 5. **Probabilité que ce soit un homme sachant que le demandeur est sans expérience :** - $p_{S}(\overline{F}) = \frac{p(\overline{F} \cap S)}{p(S)} = \frac{0.084}{0.18} = 0.4667$. 6. **Probabilité que ce soit un demandeur sans expérience sachant que c'est une femme :** - $p_F(S) = \frac{p(F \cap S)}{p(F)} = \frac{0.096}{0.52} \approx 0.1846$.