1. Énonçons le problème : vous souhaitez une démonstration mathématique complète par une méthode spécifique, mais vous n'avez pas précisé laquelle. 2. Pour vous aider efficacement, veuillez préciser la méthode ou le type de problème (par exemple, démonstration par récurrence, par l'absurde, par contraposée, etc.). 3. En attendant, voici un exemple de démonstration par récurrence pour la somme des premiers entiers naturels : Problème : Montrer que $$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$ pour tout entier naturel $n \geq 1$. 4. Formule utilisée : somme des entiers de 1 à $n$. 5. Étapes de la démonstration par récurrence : 1. Initialisation : pour $n=1$, $$\sum_{k=1}^1 k = 1$$ et $$\frac{1(1+1)}{2} = 1$$, donc vrai. 2. Hypothèse de récurrence : supposons que la formule est vraie pour un certain $n = m$, c'est-à-dire $$\sum_{k=1}^m k = \frac{m(m+1)}{2}$$. 3. Hérédité : montrons que la formule est vraie pour $n = m+1$. $$\sum_{k=1}^{m+1} k = \left(\sum_{k=1}^m k\right) + (m+1)$$ En utilisant l'hypothèse de récurrence : $$= \frac{m(m+1)}{2} + (m+1) = \frac{m(m+1) + 2(m+1)}{2} = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$$ 6. Conclusion : la formule est donc vraie pour $n = m+1$ si elle est vraie pour $n = m$, et elle est vraie pour $n=1$, donc par le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n \geq 1$. Si vous souhaitez une démonstration par une autre méthode ou pour un autre problème, merci de préciser.