1. Énoncé du problème : Un éleveur reçoit un couple de lapins le 1er janvier 2019. Chaque couple produit un nouveau couple chaque mois à partir de son deuxième mois d'existence, sans aucune perte. Nous devons déterminer le nombre total de couples de lapins au 1er janvier 2020. 2. Analyse : Ce problème correspond à la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes précédents car chaque couple donne naissance à un nouveau couple après le premier mois. 3. Définition de la suite : Soit $F_n$ le nombre de couples au mois $n$ (avec $n=1$ pour janvier 2019). - $F_1=1$ car le fermier commence avec un couple. - $F_2=1$ car le nouveau couple n'est pas encore né. Pour $n\geq 3$, on a : $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$ 4. Calcul étape par étape jusqu'au 12ème mois (janvier 2020 est $n=13$ car on compte dès janvier 2019) : - $F_1=1$ - $F_2=1$ - $F_3=F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$ - $F_4=F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$ - $F_5=F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$ - $F_6=F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$ - $F_7=F_6 + F_5 = 8 + 5 = 13$ - $F_8=F_7 + F_6 = 13 + 8 = 21$ - $F_9=F_8 + F_7 = 21 + 13 = 34$ - $F_{10}=F_9 + F_8 = 34 + 21 = 55$ - $F_{11}=F_{10} + F_9 = 55 + 34 = 89$ - $F_{12}=F_{11} + F_{10} = 89 + 55 = 144$ - $F_{13}=F_{12} + F_{11} = 144 + 89 = 233$ 5. Conclusion : Le 1er janvier 2020, l'éleveur disposera de $\boxed{233}$ couples de lapins.