1. **Énoncé du problème :** On considère un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Les points sont $A(\sqrt{3},1)$ et $B$ tel que le triangle $OAB$ soit rectangle isocèle direct en $A$. 2. **Coordonnées polaires de $A$ :** Les coordonnées polaires $(r, \theta)$ d'un point $M(x,y)$ sont données par : $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$ 3. **Calcul de $r$ pour $A$ :** $$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$ 4. **Calcul de $\theta$ pour $A$ :** $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Donc, les coordonnées polaires de $A$ sont : $$\boxed{(2, \frac{\pi}{6})}$$ 5. **Vérification des coordonnées polaires de $B$ :** D'après l'énoncé, $B$ a pour coordonnées polaires : $$\left(2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{12}\right)$$ 6. **Calcul des coordonnées cartésiennes de $B$ :** Les coordonnées cartésiennes sont données par : $$x = r \cos(\theta)$$ $$y = r \sin(\theta)$$ 7. **Utilisation de $\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ :** On note que $\frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$. 8. **Calcul de $\cos(\frac{5\pi}{12})$ et $\sin(\frac{5\pi}{12})$ :** Utilisons les formules d'angle somme : $$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$ $$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$ avec $a=\frac{\pi}{3}$ et $b=\frac{\pi}{12}$. 9. **Valeurs trigonométriques :** $$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 10. **Calcul de $\cos\frac{5\pi}{12}$ :** $$\cos\frac{5\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{3} \sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sin\frac{\pi}{12}$$ 11. **Calcul de $\sin\frac{\pi}{12}$ :** $$\sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{\pi}{12}} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ 12. **Poursuite du calcul de $\cos\frac{5\pi}{12}$ :** $$\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} - \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$$ 13. **Simplification :** $$\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$$ Donc : $$\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} = \frac{2\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ 14. **Calcul de $\sin\frac{5\pi}{12}$ :** $$\sin\frac{5\pi}{12} = \sin\frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{12} + \cos\frac{\pi}{3} \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ 15. **Simplification :** $$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ 16. **Coordonnées cartésiennes de $B$ :** $$x_B = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$$ $$y_B = 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$$ 17. **Simplification finale :** $$x_B = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{6} - \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12} - 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \sqrt{3} - 1$$ $$y_B = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{6} + \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$$ **Réponse finale :** $$\boxed{B(\sqrt{3} - 1, \sqrt{3} + 1)}$$