1) **Problème** : Vérifier quelle expression parmi a, b ou c est vraie pour $\sqrt{6}$. 1. a) $x^2 - 5 < 0$ avec $x=\sqrt{6}$ donne $6 - 5 <0$ soit $1<0$, faux. 2. b) $(1 - \sqrt{6}) x - 5 - \sqrt{6} =0$ avec $x=\sqrt{6}$ : $(1-\sqrt{6})\sqrt{6} - 5 - \sqrt{6} = \sqrt{6} - 6 - 5 - \sqrt{6} = -11$, faux. 3. c) $\sqrt{6} - 2x \geq 0$ avec $x=\sqrt{6}$ : $\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = -\sqrt{6} <0$, faux. Aucune réponse n'est correcte, mais vérifions si $x=\sqrt{6}$ est solution dans b). Ici on a répondu faux car erreur dans calcul. Recalcul de b): $(1 - \sqrt{6}) \sqrt{6} - 5 - \sqrt{6} = \sqrt{6} - 6 - 5 - \sqrt{6} = -11$ toujours faux. Donc la bonne réponse est aucune, mais question demande d'indiquer la bonne réponse parmi ces. Donc aucune vraie. 2) **Calculer $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ : $$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2 \sqrt{6}.$$ Réponse correcte: c) $5 - 2\sqrt{6}$ 3) **Calculer l'inverse de $3 - 2\sqrt{2}$**: On rationalise en multipliant par le conjugué: $$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}.$$ Donc l'inverse n'est ni a), ni b), ni c) (car c) est même nombre, b) est forme initiale). Par conséquent la bonne réponse est : b) $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ (expression de l'inverse avant simplification) **Exercice 2** 1) Résoudre $\frac{3x-1}{x} = \frac{6x -1}{2x - 8}$ Multiplions en croix : $$(3x-1)(2x -8) = x (6x -1).$$ Développons : $$6x^2 - 24x - 2x + 8 = 6x^2 - x,$$ simplifions : $$6x^2 - 26x + 8 = 6x^2 - x,$$ $$-26x + 8 = - x,$$ $$-25x + 8 = 0,$$ $$x = \frac{8}{25}.$$ 2) Résoudre $|20x - 7| = |2x + 5|$ Posons les cas : (i) $20x - 7 = 2x + 5$ $$18x = 12 \Rightarrow x= \frac{2}{3}.$$ (ii) $20x -7 = - (2x + 5)$ $$20x -7 = -2x -5 \Rightarrow 22x = 2 \Rightarrow x= \frac{1}{11}.$$ 3) Résoudre $\sqrt{x^2 + 4x +4} = 5$ On a $\sqrt{(x+2)^2} = 5$, donc $$|x+2| = 5,$$ solutions : $$x+2=5 \Rightarrow x=3,$$ $$x+2=-5 \Rightarrow x=-7.$$ 4) Résoudre $\sqrt{4 + 2x} \geq \sqrt{-x + 1}$ Conditions : $4+2x \geq 0$ donc $x \geq -2$, et $-x +1 \geq 0$ donc $x \leq 1$. Élevons les deux membres au carré : $$4 + 2x \geq -x + 1,$$ $$3x + 3 \geq 0,$$ $$x \geq -1.$$ En combinant avec les domaines : $-1 \leq x \leq 1.$ **Exercice 3** 1a) Calcul des vecteurs $$\vec{AB} = B - A = (5 - (-4), 6 -4) = (9,2),$$ $$\vec{DC} = C - D = (8 - (-1), 1 - (-1)) = (9,2),$$ $$\vec{AC} = C - A = (8 - (-4), 1 - 4) = (12, -3),$$ $$\vec{BH} = H - B = (4 - 5, 2 - 6) = (-1, -4).$$ 1b) Comme $\vec{AB} = \vec{DC}$, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 1c) Distances $$AC = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153},$$ $$BH = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}.$$ 2a) Montrons que A, H, C sont alignés Vérifions si $\vec{AH}$ est colinéaire à $\vec{AC}$ : $$\vec{AH} = H - A = (4 - (-4), 2 - 4) = (8, -2) = \frac{2}{3} (12, -3) = \frac{2}{3} \vec{AC},$$ alors colinéaires, donc alignés. 2b) Montrons que $(AC) \perp (BH)$ Produit scalaire : $$\vec{AC} \cdot \vec{BH} = 12 \times (-1) + (-3) \times (-4) = -12 + 12 = 0,$$ alors perpendiculaires. 2c) Aire du parallélogramme : $$A = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = |\vec{AB} \times (D - A)|.$$ $$\vec{AD} = D - A = (-1 - (-4), -1 -4) = (3, -5),$$ Produit vectoriel (2D) : $$|\vec{AB} \times \vec{AD}| = |9 \times (-5) - 2 \times 3| = |-45 -6| = 51.$$ 3a) Centre du parallélogramme $G$ milieu des diagonales : $$G = \left(\frac{-4+8}{2}, \frac{4+1}{2}\right) = (2, \frac{5}{2}).$$ 3b) Montrer que $H$ est centre de gravité du triangle BCD Moyenne des coordonnées B, C, D : $$\left(\frac{5 + 8 - 1}{3}, \frac{6 + 1 - 1}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (4, 2),$$ qui est le point H. **Réponses finales** : - Ex1 (1): aucune vraie. - Ex1 (2): c) - Ex1 (3): b) - Ex2 (1): $x=\frac{8}{25}.$ - Ex2 (2): $x=\frac{2}{3}$ ou $x=\frac{1}{11}.$ - Ex2 (3): $x=3$ ou $x=-7.$ - Ex2 (4): $-1 \leq x \leq 1.$ - Ex3 calculs présentés ci-dessus.