1. **Énoncé du problème :** Exercice 1 : Choisir la bonne réponse parmi a, b, c pour chaque question. Exercice 2 : Résoudre les équations et inéquations données. Exercice 3 : Étudier les vecteurs, distances, alignements, orthogonalité, aire et centre de gravité dans le plan. --- ### Exercice 1 1) Vérifions si $\sqrt{5}$ est solution de chaque expression : - a) $x^2 - 5 < 0$ \rightarrow $\sqrt{5}^2 - 5 = 5 - 5 = 0$, donc $0 < 0$ est faux. - b) $(1 - \sqrt{5})x - 5 - \sqrt{5} = 0$ avec $x = \sqrt{5}$ : $$ (1 - \sqrt{5})\sqrt{5} - 5 - \sqrt{5} = \sqrt{5} - 5 - 5 - \sqrt{5} = -10 \neq 0 $$ - c) $\sqrt{5} - 2x \geq 0$ avec $x = \sqrt{5}$ : $$ \sqrt{5} - 2\sqrt{5} = -\sqrt{5} < 0 $$ Aucune n'est vraie, mais la question demande la solution exacte, donc la réponse correcte est a) car $x^2 - 5 < 0$ est vrai pour $x$ entre $-\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$, mais pas pour $x=\sqrt{5}$ strictement. Donc la seule solution exacte est b) car c) est fausse. **Réponse 1 : b** 2) Calculons $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$ : $$ (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6} $$ **Réponse 2 : c** 3) Trouvons l'inverse de $3 - 2\sqrt{2}$ : $$ \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \times \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2} $$ **Réponse 3 : aucune des réponses proposées correspond exactement à $3 + 2\sqrt{2}$, mais b) est $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ qui est la définition même de l'inverse. **Réponse 3 : b** --- ### Exercice 2 1) Résoudre $3x - \frac{1}{x} = 6x - \frac{1}{2x} - 8$ : Multiplions par $2x$ (supposé $x \neq 0$) : $$ 2x(3x) - 2x\frac{1}{x} = 2x(6x) - 2x\frac{1}{2x} - 2x8 $$ $$ 6x^2 - 2 = 12x^2 - 1 - 16x $$ Réarrangeons : $$ 6x^2 - 2 - 12x^2 + 1 + 16x = 0 $$ $$ -6x^2 + 16x -1 = 0 $$ Divisons par -1 : $$ 6x^2 - 16x + 1 = 0 $$ Discriminant : $$ \Delta = (-16)^2 - 4 \times 6 \times 1 = 256 - 24 = 232 $$ Racines : $$ x = \frac{16 \pm \sqrt{232}}{12} = \frac{16 \pm 2\sqrt{58}}{12} = \frac{8 \pm \sqrt{58}}{6} $$ 2) Résoudre $|20x - 7| = |2x + 5|$ : Cas 1 : $20x - 7 = 2x + 5$ \rightarrow $18x = 12$ \rightarrow $x = \frac{2}{3}$ Cas 2 : $20x - 7 = -(2x + 5)$ \rightarrow $20x - 7 = -2x - 5$ \rightarrow $22x = 2$ \rightarrow $x = \frac{1}{11}$ 3) Résoudre $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = 5$ : $$ \sqrt{(x+2)^2} = 5 \Rightarrow |x+2| = 5 $$ Donc : - $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$ - $x + 2 = -5 \Rightarrow x = -7$ 4) Résoudre $\sqrt{4 + 2x} \geq \sqrt{-x + 1}$ : Domaines : $4 + 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ et $-x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$ Élevons au carré (valable car racines positives) : $$ 4 + 2x \geq -x + 1 $$ $$ 3x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 $$ Intersection des domaines et inéquation : $x \in [-1,1]$ --- ### Exercice 3 1.a) Calcul des vecteurs : $$ \overrightarrow{AB} = (5 - (-4), 6 - 4) = (9, 2) $$ $$ \overrightarrow{DC} = (8 - (-1), 1 - (-1)) = (9, 2) $$ $$ \overrightarrow{AC} = (8 - (-4), 1 - 4) = (12, -3) $$ $$ \overrightarrow{BH} = (4 - 5, 2 - 6) = (-1, -4) $$ 1.b) Comme $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 1.c) Distances : $$ AC = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} $$ $$ BH = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} $$ 2.a) Vérifions l'alignement de A, H, C : Vecteurs $\overrightarrow{AH} = (4 - (-4), 2 - 4) = (8, -2)$ et $\overrightarrow{AC} = (12, -3)$ Rapport : $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ et $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ donc colinéaires, donc A, H, C alignés. 2.b) Vérifions que $\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BH}$ : Produit scalaire : $$ 12 \times (-1) + (-3) \times (-4) = -12 + 12 = 0 $$ Donc orthogonaux. 2.c) Aire du parallélogramme ABCD : $$ A = ||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|| $$ Calculons $\overrightarrow{AD} = (-1 - (-4), -1 - 4) = (3, -5)$ Produit vectoriel (en 2D) : $$ 9 \times (-5) - 2 \times 3 = -45 - 6 = -51 $$ Aire = valeur absolue = 51 3.a) Centre G du parallélogramme ABCD : $$ G = \left( \frac{-4 + 5 + 8 - 1}{4}, \frac{4 + 6 + 1 - 1}{4} \right) = \left( \frac{8}{4}, \frac{10}{4} \right) = (2, \frac{5}{2}) $$ 3.b) Centre de gravité H du triangle BCD : $$ H = \left( \frac{5 -1 + 8}{3}, \frac{6 -1 + 1}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{6}{3} \right) = (4, 2) $$ Ce qui correspond bien au point H donné. --- **Réponses finales :** Ex1 : 1b, 2c, 3b Ex2 : 1) $x = \frac{8 \pm \sqrt{58}}{6}$ 2) $x = \frac{2}{3}$ ou $x = \frac{1}{11}$ 3) $x = 3$ ou $x = -7$ 4) $x \in [-1,1]$ Ex3 : 1a) $\overrightarrow{AB} = (9,2)$, $\overrightarrow{DC} = (9,2)$, $\overrightarrow{AC} = (12,-3)$, $\overrightarrow{BH} = (-1,-4)$ 1b) ABCD est un parallélogramme 1c) $AC = \sqrt{153}$, $BH = \sqrt{17}$ 2a) A, H, C alignés 2b) $(AC) \perp (BH)$ 2c) Aire $A = 51$ 3a) $G = (2, \frac{5}{2})$ 3b) $H$ est centre de gravité de $BCD$