1. **Déterminer le domaine de définition de** $f(x) = \sqrt{\ln^2 x + 5 \ln x - 6}$. - Le domaine de $f$ est l'ensemble des $x$ tels que l'expression sous la racine soit positive ou nulle : $$\ln^2 x + 5 \ln x - 6 \geq 0$$ - Posons $t = \ln x$, alors l'inéquation devient : $$t^2 + 5t - 6 \geq 0$$ - Résolvons l'équation quadratique associée : $$t^2 + 5t - 6 = 0$$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 + 24 = 49$$ - Racines : $$t_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6, \quad t_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$$ - Le trinôme est positif ou nul pour $t \leq -6$ ou $t \geq 1$. - Donc : $$\ln x \leq -6 \quad \text{ou} \quad \ln x \geq 1$$ - En exponentiant : $$x \leq e^{-6} \quad \text{ou} \quad x \geq e^{1} = e$$ - Comme $x > 0$ (domaine de $\ln x$), le domaine de définition est : $$D_f = ]0, e^{-6}] \cup [e, +\infty[ $$ 2. **Calculer les limites :** (1) $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)$$ - Rappel : $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$. - Donc la limite devient : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln(\cosh x)$$ - Développement de $\cosh x$ près de 0 : $$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ - Donc : $$\ln(\cosh x) = \ln \left(1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) \approx \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ - Ainsi : $$\frac{1}{x} \ln(\cosh x) \approx \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2} = \frac{x}{2} \to 0$$ - Donc : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right) = 0$$ (2) $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2} \left( \sqrt{x+3} - \sqrt{x} \right)$$ - Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$. - Factorisons la différence de racines : $$\sqrt{x+3} - \sqrt{x} = \frac{(x+3) - x}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$ - Donc l'expression devient : $$x \times \frac{3}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$ - Pour $x \to +\infty$, $\sqrt{x+3} \sim \sqrt{x}$, donc : $$\sqrt{x+3} + \sqrt{x} \sim 2 \sqrt{x}$$ - Ainsi : $$x \times \frac{3}{2 \sqrt{x}} = \frac{3x}{2 \sqrt{x}} = \frac{3}{2} \sqrt{x} \to +\infty$$ 3. **Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) :** - Énoncé : Si une fonction $h$ est continue sur un intervalle $[a,b]$ et si $y_0$ est un nombre compris entre $h(a)$ et $h(b)$, alors il existe au moins un $c \in [a,b]$ tel que $h(c) = y_0$. 4. **Montrer qu'il existe $m \in [0,1]$ tel que $f(m) = g(m)$ sous la condition** $$(f(0) - g(0))(f(1) - g(1)) \leq 0$$ - Posons $h(x) = f(x) - g(x)$. - $h$ est continue sur $[0,1]$ car $f$ et $g$ sont continues. - La condition devient : $$h(0) \times h(1) \leq 0$$ - Cela signifie que $h(0)$ et $h(1)$ sont de signes opposés ou l'un est nul. - Par le TVI, il existe $m \in [0,1]$ tel que : $$h(m) = 0 \implies f(m) = g(m)$$ 5. **Calculer la dérivée d'ordre $n$ de** $$f(x) = e^{7x} + \ln x$$ - Dérivée d'ordre 1 : $$f'(x) = 7 e^{7x} + \frac{1}{x}$$ - Dérivée d'ordre $n$ de $e^{7x}$ : $$\frac{d^n}{dx^n} e^{7x} = 7^n e^{7x}$$ - Dérivée d'ordre $n$ de $\ln x$ : $$\frac{d^n}{dx^n} \ln x = (-1)^{n-1} (n-1)! \frac{1}{x^n}$$ - Donc : $$f^{(n)}(x) = 7^n e^{7x} + (-1)^{n-1} (n-1)! \frac{1}{x^n}$$