1. **Étudier la parité des nombres :** a = 4n² + 2n + 3 - $4n^2$ est pair car multiple de 4. - $2n$ est pair car multiple de 2. - La somme des deux premiers termes est donc paire. - Ajouter 3 (impair) rend $a$ impair. b = $2^{2021} + 3^{2022}$ - $2^{2021}$ est pair (2 puissance > 0). - $3^{2022}$ est impair (3 impair puissance). - Somme pair + impair = impair. c = $5^n + 1$ - $5^n$ est impair (5 impair any power). - Impair + 1 = pair. 2. **Montrer que $3^{n+2} + 3^n$ est multiple de 5 :** - Factoriser : $3^{n+2} + 3^n = 3^n (3^2 + 1) = 3^n (9 + 1) = 3^n imes 10$. - Comme $10$ est multiple de 5, le produit est multiple de 5. 3. **Diviseurs positifs non premiers de 102 :** - $102 = 2 imes 3 imes 17$ (17 premier) - Diviseurs : 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102 - Non premiers (autres que 1): 6, 34, 51, 102 4. **Décomposition en facteurs premiers de 7752 :** - Diviser par 2 : $7752 ÷ 2 = 3876$ - Encore 2 : $3876 ÷ 2 = 1938$ - Encore 2 : $1938 ÷ 2 = 969$ - Diviser par 3 : $969 ÷ 3 = 323$ - 323 divisible par 17 (17 × 19) car $17 imes 19 = 323$ - Donc : $7752 = 2^3 imes 3 imes 17 imes 19$ 5. **Déterminer entiers naturels $x,y$ tels que $(x-2)(y-5)=22$ :** - 22 a pour diviseurs positifs : 1, 2, 11, 22. - Tester combinaisons : - $(x-2,y-5)=(1,22), (2,11), (11,2), (22,1)$ - Donc $x = 3,4,13,24$ et $y = 27,16,7,6$ 6. **Le nombre 323 est-il premier ?** - $323 = 17 imes 19$ donc non premier. --- **EXERCICE 2 :** 1. $a = 2^2 imes 3 imes 7 + 2^5 imes 3$. - Chaque terme contient au moins un facteur 2, donc $a$ est pair. 2. Montrer : - $a = 2^{2} imes 3 imes 7 + 2^{5} imes 3 = 2^{2} imes 3 imes 7 + 2^{5} imes 3$ - Factoriser par $2^{2} imes 3$: $= 2^{2} imes 3 (7 + 2^{3}) = 2^{2} imes 3 imes 15 = 2^{2} imes 3 imes 3 imes 5 = 2^{2} imes 3^{2} imes 5$ $b = 168 = 2^3 imes 3 imes 7$ 3. Calcul du PGCD et PPCM : - $a = 2^{2} imes 3^{2} imes 5$ - $b = 2^{3} imes 3 imes 7$ - PGCD prend puissances minimales : $2^{2} imes 3^{1} = 4 imes 3 = 12$ - PPCM prend puissances maximales : $2^{3} imes 3^{2} imes 5 imes 7 = 8 imes 9 imes 5 imes 7 = 2520$ 4. Simplifier : $a/b = rac{2^{2} imes 3^{2} imes 5}{2^{3} imes 3 imes 7} = rac{3 imes 5}{2 imes 7} = rac{15}{14}$ Calculer $ oot{ } eallyroot{ }{ ext{ab}}$ : - $ab = a imes b = (2^{2} imes 3^{2} imes 5) imes (2^{3} imes 3 imes 7) = 2^{5} imes 3^{3} imes 5 imes 7$ - $ oot{ } eallyroot{ }{ab} = 2^{2.5} imes 3^{1.5} imes oot{ } eallyroot{ }{5} imes oot{ } eallyroot{ }{7} = 4 imes oot{2}{2} imes 3 imes oot{3}{3} imes oot{ } eallyroot{ }{5 imes 7} = 12 oot{ } eallyroot{ }{70}$ (forme simplifiée approchée) 5. Montrer que $5a$ est un carré parfait : - $5a = 5 imes 2^{2} imes 3^{2} imes 5 = 2^{2} imes 3^{2} imes 5^{2}$ - Ceci est $ (2 imes 3 imes 5)^2 = 30^2$. --- **EXERCICE 3 :** 1. Construction : Triangle ABC avec points I, J, K définis par vecteurs proportionnels. 2. Montrer : - $IJ = rac{1}{3} AB + rac{1}{2} BC$ - $JK = AB + rac{3}{2} BC$ 3a. Montrer que $3 IJ + KJ = 0$ : - $KJ = JK$ inversé = $-(AB + rac{3}{2} BC)$ - $3 IJ = 3(rac{1}{3} AB + rac{1}{2} BC) = AB + rac{3}{2} BC$ - $3 IJ + KJ = AB + rac{3}{2} BC - (AB + rac{3}{2} BC) = 0$ 3b. Points $I, J, K$ alignés car $3 IJ = -KJ$ donne relation linéaire entre vecteurs. 4a. Construire $H$ tel que $AH = 2 AJ$. 4b. Nature quadrilatère $ABHC$ : - Avec la construction, $ABHC$ est un parallélogramme. 4c. Droites $(BH)$ et $(AK)$ parallèles car vecteurs correspondants sont proportionnels. --- **EXERCICE 4 :** 1. Montrer que $n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$. 2. Montrer que $A - 1 = 4n^2 + 12n + 8$ est multiple de 8 : - $A - 1 = 4n^2 + 12n + 8 = 4(n^2 + 3n + 2) = 4 (n+1)(n+2)$ - Or $(n+1)(n+2)$ est pair car deux entiers consécutifs. - Donc $A - 1$ multiple de $4 imes 2 = 8$. **Réponses comptent 4 problèmes principaux**.