1. **Énoncé du problème :** Résoudre les questions de l'exercice 1, puis résoudre les équations inégalités de l'exercice 2, et enfin résoudre les questions vectorielles, alignement, orthogonalité, aire, et barycentre de l'exercice 3. ### Exercice 1 1) Vérifions pour chaque réponse si $\sqrt{6}$ est solution. - a) $x^2 - 5 < 0 \implies (\sqrt{6})^2 - 5 = 6 - 5 = 1 > 0$ donc $\sqrt{6}$ ne satisfait pas. - b) $(1 - \sqrt{6})x - 5 - \sqrt{6} = 0$. Posons $x = \sqrt{6}$ alors: $$(1 - \sqrt{6})\sqrt{6} - 5 - \sqrt{6} = \sqrt{6} - 6 - 5 - \sqrt{6} = -11 \neq 0$$ donc non. - c) $\sqrt{6} - 2x > 0$. Pour $x = \sqrt{6}$, $\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = -\sqrt{6} < 0$ non. - d) $5 - 2 \sqrt{6}$ n'est pas une équation. Donc aucune réponse exacte pour 1. 2) Calcul de $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2 \sqrt{6}$. La réponse correcte est donc none of the 3, mais la forme se rapproche de a) $5 + 2 \sqrt{6}$ incorrect, b) $1 - 2 \sqrt{6}$ incorrect, c) $8 - 2 \sqrt{2}$ incorrect. Petite erreur, la bonne forme est $5 - 2\sqrt{6}$, donc parmi les choix on choisit a) $5 + 2 \sqrt{6}$ mais il y a une erreur dans l'énoncé. 3) Inverse de $3 - 2\sqrt{2}$: Rationalisons: $$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$$ Donc aucune des réponses proposées est égale à l'inverse sauf b) qui est simplement $1/(3 - 2\sqrt{2})$, donc la réponse correcte pour 3 est b). --- ### Exercice 2 1) Résoudre $\frac{3x - 1}{x} = \frac{6x - 1}{2x - 8}$ avec $x \neq 0$ et $2x - 8 \neq 0$. Croisons: $$(3x - 1)(2x - 8) = x(6x - 1)$$ $$6x^2 - 24x - 2x + 8 = 6x^2 - x$$ $$6x^2 - 26x + 8 = 6x^2 - x$$ Soustraire $6x^2$ des deux côtés: $$-26x + 8 = -x$$ $$-26x + x = -8$$ $$-25x = -8$$ $$x = \frac{8}{25}$$ 2) Résoudre $|20x - 7| = |2x + 5|$. Deux cas: - $20x - 7 = 2x + 5 \implies 18x = 12 \implies x = \frac{2}{3}$ - $20x - 7 = - (2x + 5) \implies 20x - 7 = -2x - 5 \implies 22x = 2 \implies x = \frac{1}{11}$ 3) Résoudre $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = 5$. Puisque $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$, on a: $$\sqrt{(x + 2)^2} = 5 \implies |x + 2| = 5$$ $$x + 2 = 5 ~\text{ou}~ x + 2 = -5$$ $$x = 3 ~\text{ou}~ x = -7$$ 4) Résoudre $\sqrt{4 + 2x} \geq \sqrt{-x + 1}$. Les deux bornes doivent être positives ou nulles: $$4 + 2x \geq 0 \implies x \geq -2$$ $$-x + 1 \geq 0 \implies x \leq 1$$ Square both sides: $$(4 + 2x) \geq (-x + 1)$$ $$4 + 2x \geq -x + 1$$ $$3x \geq -3$$ $$x \geq -1$$ En tenant compte des conditions sur $x$, la solution est: $$x \in [-1, 1]$$ --- ### Exercice 3 1) a) Calcul des vecteurs: $$\vec{AB} = (5 - (-4), 6 - 4) = (9, 2)$$ $$\vec{DC} = (8 - (-1), 1 - (-1)) = (9, 2)$$ $$\vec{AC} = (8 - (-4), 1 - 4) = (12, -3)$$ $$\vec{BH} = (4 - 5, 2 - 6) = (-1, -4)$$ b) Comme $\vec{AB} = \vec{DC}$, ABCD est parallélogramme. c) Distances: $$AC = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}$$ $$BH = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$ 2) a) Montrons que A, H, C sont alignés. Vecteurs $\vec{AH} = (4 - (-4), 2 - 4) = (8, -2)$ et $\vec{AC} = (12, -3)$. $v = (8, -2)$ est un multiple de $\vec{AC} = (12, -3)$? $(12, -3) = 1.5 \times (8, -2)$ donc alignés. b) Montrons que $(AC) \perp (BH)$. Produit scalaire: $$\vec{AC} \cdot \vec{BH} = 12 \times (-1) + (-3) \times (-4) = -12 + 12 = 0$$ Donc orthogonalité vérifiée. c) Aire $\mathcal{A}$ parallelogramme: $$\mathcal{A} = \| \vec{AB} \times \vec{AD} \|$$ Calcul durée selon vecteurs: $$\vec{AD} = (-1 - (-4), -1 - 4) = (3, -5)$$ Produit vectoriel pour vecteurs en plan: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = (9)(-5) - (2)(3) = -45 - 6 = -51$$ Aire = $| -51 | = 51$. 3) a) Centre G du parallélogramme: $$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}\right) = \left(\frac{-4 + 5 + 8 + (-1)}{4}, \frac{4 + 6 + 1 + (-1)}{4} \right) = (2, \tfrac{10}{4}) = (2, \tfrac{5}{2})$$ b) Montrons que H est centre de gravité du triangle BCD: Coordonnées centre de gravité: $$G_{BCD} = \left(\frac{5 + 8 + (-1)}{3}, \frac{6 + 1 + (-1)}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (4,2)$$ Donc $H = G_{BCD}$. **Réponses finales :** Ex1 : 1) aucune réponse correcte 2) $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{6}$ 3) inverse de $3 - 2 \sqrt{2}$ est $3 + 2 \sqrt{2}$ Ex2 : 1) $x = \frac{8}{25}$ 2) $x = \frac{2}{3}$ ou $x = \frac{1}{11}$ 3) $x = 3$ ou $x = -7$ 4) $x \in [-1, 1]$ Ex3 : 1a) $\vec{AB}=(9,2), \vec{DC}=(9,2), \vec{AC}=(12,-3), \vec{BH}=(-1,-4)$ 1b) ABCD est parallélogramme 1c) $AC=\sqrt{153}, BH=\sqrt{17}$ 2a) A, H, C alignés 2b) $(AC) \perp (BH)$ 2c) Aire $\mathcal{A} = 51$ 3a) $G = (2, \frac{5}{2})$ 3b) $H$ est centre de gravité de $BCD$