1. **Étudier la dérivabilité des fonctions f et g en a.** - Pour $f(x) = x^2 - 2x - 5$ en $a=3$ : La fonction est un polynôme, donc dérivable en tout point, notamment en $x=3$. - Pour $g(x) = \frac{3}{x} - \frac{2}{x} = \frac{1}{x}$ en $a=-2$ : $g$ est dérivable en tout $x \neq 0$, donc en $x=-2$. 2. **Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.** a. $f(x) = \frac{4x^2 - 3}{3 - 2x}$ avec $x \neq \frac{3}{2}$. Utilisons la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(8x)(3 - 2x) - (4x^2 - 3)(-2)}{(3 - 2x)^2}$$ Simplifions le numérateur : $$8x(3 - 2x) + 2(4x^2 - 3) = 24x - 16x^2 + 8x^2 - 6 = 24x - 8x^2 - 6$$ Donc : $$f'(x) = \frac{-8x^2 + 24x - 6}{(3 - 2x)^2}$$ b. $g(x) = (3x - 2)\sqrt{-2x - 5}$ avec $x \leq -\frac{5}{2}$. Posons $u = 3x - 2$ et $v = \sqrt{-2x - 5}$. Dérivons : $$u' = 3$$ $$v = (-2x - 5)^{1/2}$$ $$v' = \frac{1}{2}(-2x - 5)^{-1/2} \times (-2) = -\frac{1}{\sqrt{-2x - 5}}$$ Par la règle du produit : $$g'(x) = u'v + uv' = 3\sqrt{-2x - 5} + (3x - 2)\left(-\frac{1}{\sqrt{-2x - 5}}\right)$$ $$= \frac{3(-2x - 5) - (3x - 2)}{\sqrt{-2x - 5}} = \frac{-6x - 15 - 3x + 2}{\sqrt{-2x - 5}} = \frac{-9x - 13}{\sqrt{-2x - 5}}$$ --- **Exercice 2** 1. $f(x) = 3x^2 - 2x + 3$, trouver l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse 2. Calculons $f(2)$ : $$f(2) = 3 \times 2^2 - 2 \times 2 + 3 = 12 - 4 + 3 = 11$$ Calculons $f'(x) = 6x - 2$, donc $f'(2) = 12 - 2 = 10$. L'équation de la tangente est : $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 10(x - 2) + 11 = 10x - 20 + 11 = 10x - 9$$ 2. a. Étudier le signe de $f(x) - (10x - 9)$ : $$f(x) - (10x - 9) = 3x^2 - 2x + 3 - 10x + 9 = 3x^2 - 12x + 12$$ Factorisons : $$3x^2 - 12x + 12 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3(x - 2)^2$$ Cette expression est toujours positive ou nulle, et nulle seulement en $x=2$. b. La courbe $f$ est donc au-dessus de la droite $T$ sauf au point de tangence $x=2$. --- **Exercice 3** 1. $f(x) = x^2 - (m+1)x + 4$. L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions distinctes si le discriminant $\Delta > 0$ : $$\Delta = (m+1)^2 - 4 \times 1 \times 4 = (m+1)^2 - 16$$ Donc : $$ (m+1)^2 > 16 \Rightarrow |m+1| > 4 \Rightarrow m < -5 \text{ ou } m > 3$$ 2. $f(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$ a. Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = 2 - 1 - 7 + 6 = 0$$ b. Puisque $f(1) = 0$, $(x - 1)$ est un facteur. Divisons $f(x)$ par $(x - 1)$ : Division polynomiale donne : $$g(x) = 2x^2 + x - 6$$ c. Résoudre $f(x) \leq 0$ équivaut à $ (x - 1)g(x) \leq 0$. Résolvons $g(x) = 0$ : $$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49$$ Racines : $$x = \frac{-1 \pm 7}{4}$$ Donc $x = \frac{6}{4} = 1.5$ et $x = -2$. Tableau de signes de $f(x) = (x-1)(2x^2 + x - 6)$ : - Pour $x < -2$, $g(x) > 0$, $(x-1) < 0$ donc $f(x) < 0$. - Entre $-2$ et $1$, $g(x) < 0$, $(x-1) < 0$ donc $f(x) > 0$. - Entre $1$ et $1.5$, $g(x) < 0$, $(x-1) > 0$ donc $f(x) < 0$. - Pour $x > 1.5$, $g(x) > 0$, $(x-1) > 0$ donc $f(x) > 0$. Donc $f(x) \leq 0$ pour $x \in (-\infty, -2] \cup [1, 1.5]$. --- **Exercice 4** 1. Montrer que l’aire hachurée est donnée par : $$f(x) = -x^2 + 4x + 32$$ (La démonstration dépend de la géométrie, on admet cette expression.) 2. a. Trouver $x$ pour aire maximale. La fonction est une parabole $f(x) = -x^2 + 4x + 32$ avec $a = -1 < 0$, sommet en : $$x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-1)} = 2$$ b. Calcul de l’aire maximale : $$f(2) = -(2)^2 + 4 \times 2 + 32 = -4 + 8 + 32 = 36$$ --- **Réponses finales :** - Ex1.1 : $f$ et $g$ dérivables en $a$. - Ex1.2a : $f'(x) = \frac{-8x^2 + 24x - 6}{(3 - 2x)^2}$. - Ex1.2b : $g'(x) = \frac{-9x - 13}{\sqrt{-2x - 5}}$. - Ex2.1 : Tangente $T : y = 10x - 9$. - Ex2.2a : $f(x) - (10x - 9) = 3(x - 2)^2 \geq 0$. - Ex2.2b : $f$ au-dessus de $T$ sauf en $x=2$. - Ex3.1 : Deux solutions distinctes si $m < -5$ ou $m > 3$. - Ex3.2a : $f(1) = 0$. - Ex3.2b : $f(x) = (x - 1)(2x^2 + x - 6)$. - Ex3.2c : $f(x) \leq 0$ pour $x \in (-\infty, -2] \cup [1, 1.5]$. - Ex4.1 : $f(x) = -x^2 + 4x + 32$. - Ex4.2a : $x = 2$. - Ex4.2b : Aire maximale $= 36$.