1. **Énoncé du problème :** Jacob vide sa baignoire contenant initialement 150 L d'eau en 2 minutes (120 secondes) à un rythme constant. On cherche la quantité d'eau $Q(t)$ en litres selon le temps $t$ en secondes, puis on complète la table de valeurs de cette fonction et de sa réciproque, et on détermine si la réciproque est une fonction. 2. **Formule et règles importantes :** Le débit est constant, donc la quantité d'eau diminue linéairement. La fonction est de la forme $$Q(t) = Q_0 - rt$$ où $Q_0=150$ L est la quantité initiale et $r$ est le débit en L/s. 3. **Calcul du débit $r$ :** La baignoire est vide à $t=120$ s, donc $$0 = 150 - r \times 120 \Rightarrow r = \frac{150}{120} = 1.25 \text{ L/s}.$$ 4. **Expression de la fonction :** $$Q(t) = 150 - 1.25t$$ 5. **Complétons la table pour $Q(t)$ :** - Pour $Q=0$, $t=120$ s (donné). - Pour $Q=12$, on résout $12 = 150 - 1.25t \Rightarrow 1.25t = 138 \Rightarrow t = 110.4$ s. - Pour $Q=75$, $t = \frac{150-75}{1.25} = 60$ s. - Pour $Q=90$, $t = \frac{150-90}{1.25} = 48$ s. - Pour $Q=120$, $t = \frac{150-120}{1.25} = 24$ s. 6. **Table complétée :** | Quantité d'eau (L) | Temps (s) | |--------------------|-----------| | 0 | 120 | | 12 | 110.4 | | 75 | 60 | | 90 | 48 | | 120 | 24 | 7. **Fonction réciproque :** La réciproque échange $Q$ et $t$, donc $$t = f^{-1}(Q) = \frac{150 - Q}{1.25}.$$ 8. **La réciproque est-elle une fonction ?** Oui, car pour chaque quantité $Q$ correspond un unique temps $t$. La fonction $Q(t)$ est bijective sur l'intervalle considéré, donc sa réciproque est bien une fonction. --- 9. **Deuxième problème : Ombre d'un poteau** Données des points approximatifs : $$(7,4), (9,3.2), (11,2.5), (12,1.2), (14,2.8), (16,4)$$ 10. **Tracer la réciproque :** La réciproque échange les coordonnées $(x,y)$ en $(y,x)$, donc les points deviennent : $$(4,7), (3.2,9), (2.5,11), (1.2,12), (2.8,14), (4,16)$$ 11. **La réciproque est-elle une fonction ?** Pour que la réciproque soit une fonction, chaque valeur de $y$ (longueur) doit correspondre à une seule valeur de $x$ (heure). Ici, la longueur 4 m correspond à deux heures différentes (7 et 16), donc la réciproque ne passe pas le test de la verticale et **n'est pas une fonction**. **Réponses finales :** - Table complétée pour la baignoire avec $Q(t) = 150 - 1.25t$. - La réciproque est une fonction. - La réciproque du graphe de l'ombre est tracée en échangeant les coordonnées. - La réciproque n'est pas une fonction.