1. Énoncé du problème : Jasmine veut construire une ombrière de dimensions 35 cm de longueur et 31 cm de largeur. Elle utilise des bâtons de bois de 36 cm de longueur et 2 cm de largeur. Les bâtons doivent être placés en quadrillé pour bloquer au moins 50% de la lumière. 2. Compréhension du problème : - Chaque bâton a une largeur de 2 cm qui bloque la lumière. - Pour bloquer 50% de la lumière, la surface bloquée par les bâtons doit représenter au moins 50% de la surface totale de l'ombrière. - Les bâtons sont placés en quadrillage, donc en longueur et en largeur. 3. Calcul de la surface totale de l'ombrière : $$\text{Surface totale} = 35 \times 31 = 1085 \text{ cm}^2$$ 4. Surface à bloquer pour 50% : $$\text{Surface bloquée} \geq 0{,}5 \times 1085 = 542{,}5 \text{ cm}^2$$ 5. Calcul du nombre de bâtons nécessaires : - En longueur, chaque bâton bloque une bande de 2 cm de largeur sur 35 cm de longueur. - En largeur, chaque bâton bloque une bande de 2 cm de largeur sur 31 cm de longueur. Soit $n_L$ le nombre de bâtons en longueur et $n_l$ le nombre en largeur. La surface bloquée totale est la somme des surfaces des bâtons en longueur et en largeur, moins les chevauchements (car les bâtons se croisent) : $$\text{Surface bloquée} = n_L \times (2 \times 35) + n_l \times (2 \times 31) - n_L \times n_l \times (2 \times 2)$$ 6. On cherche $n_L$ et $n_l$ entiers tels que : $$2 \times 35 n_L + 2 \times 31 n_l - 4 n_L n_l \geq 542{,}5$$ 7. Simplifions : $$70 n_L + 62 n_l - 4 n_L n_l \geq 542{,}5$$ 8. Testons des valeurs entières pour $n_L$ et $n_l$ : - Essayons $n_L=5$ : $$70 \times 5 = 350$$ - On cherche $n_l$ tel que : $$350 + 62 n_l - 4 \times 5 \times n_l \geq 542{,}5$$ $$350 + 62 n_l - 20 n_l \geq 542{,}5$$ $$350 + 42 n_l \geq 542{,}5$$ $$42 n_l \geq 192{,}5$$ $$n_l \geq \frac{192{,}5}{42} \approx 4{,}58$$ Donc $n_l=5$. 9. Vérification : $$70 \times 5 + 62 \times 5 - 4 \times 5 \times 5 = 350 + 310 - 100 = 560 \geq 542{,}5$$ 10. Conclusion : Jasmine aura besoin de 5 bâtons en longueur et 5 bâtons en largeur pour bloquer au moins 50% de la lumière.