1. **Énoncé du problème :** Trouver une application $f$ de l'intervalle $I = [-1, \sqrt{5}]$ dans $I$ qui soit injective. 2. **Rappel de la définition d'une application injective :** Une fonction $f : I \to I$ est injective si pour tous $x, y \in I$, $f(x) = f(y)$ implique $x = y$. 3. **Choix d'une fonction candidate :** Prenons $f(x) = x$. 4. **Vérification que $f$ est bien définie de $I$ dans $I$ :** Pour tout $x \in [-1, \sqrt{5}]$, $f(x) = x$ appartient aussi à $[-1, \sqrt{5}]$. 5. **Vérification de l'injectivité :** Si $f(x) = f(y)$, alors $x = y$. Donc $f$ est injective. 6. **Conclusion :** La fonction identité $f(x) = x$ est une application injective de $I$ dans $I$. **Réponse finale :** $$f : x \mapsto x$$ est injective sur $I = [-1, \sqrt{5}]$.