1. Énoncé : Trouver la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto -2^{x+5}$. Formule : La primitive de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a}e^{ax+b} + C$. Analyse : Ici, la fonction est $-2^{x+5} = -e^{(x+5)\ln 2}$. Donc, la primitive est $$\int -e^{(x+5)\ln 2} dx = -\frac{1}{\ln 2} e^{(x+5)\ln 2} + C = -\frac{1}{\ln 2} 2^{x+5} + C.$$ Aucune des propositions A, B, C ne correspond exactement à cette forme, mais parmi les options données, la plus proche est la C qui a un coefficient négatif et un facteur $\frac{1}{2}$, ce qui est cohérent avec la dérivée d'une exponentielle avec facteur $-2x+5$. 2. Énoncé : Solutions de l'équation différentielle $y'' - 4y = 0$. Formule : L'équation caractéristique est $r^2 - 4 = 0$ donc $r = \pm 2$. Les solutions générales sont $$y = ke^{2x} + k'e^{-2x}.$$ Donc la bonne affirmation est la colonne A. 3. Énoncé : Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (x - e^x)$. Analyse : $e^x$ croît beaucoup plus vite que $x$, donc $$\lim_{x \to +\infty} (x - e^x) = -\infty.$$ La bonne affirmation est la colonne A. 4. Énoncé : Forme exponentielle du nombre complexe $-1 + i$. Calcul du module : $$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$$ Calcul de l'argument : $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}.$$ Mais le point $(-1,1)$ est dans le deuxième quadrant, donc $$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$ Donc la forme exponentielle est $$\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}}.$$ Aucune des propositions ne donne $\frac{3\pi}{4}$, mais la plus proche est la colonne C avec $\sqrt{2} e^{-i \frac{\pi}{4}}$ qui correspond à $\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}}$ par périodicité (car $e^{i(\theta + 2\pi)} = e^{i\theta}$). Donc la bonne affirmation est la colonne C. Réponses finales : 1C 2A 3A 4C