1. Énoncé du premier problème (probabilités). On donne trois filières A, B, C et les probabilités conditionnelles suivantes : 20% des étudiants de A sont des filles, 10% des étudiants de B sont des filles, 40% des étudiants de C sont des filles. On note $P(F\mid A)=0{,}20$, $P(F\mid B)=0{,}10$, $P(F\mid C)=0{,}40$. Remarque importante : le texte fourni contient une phrase peu claire sur les tailles relatives des filières. Pour poursuivre, j'adopte l'hypothèse plausible suivante : «la taille de la filière A est le double de celle de B et la moitié de celle de C». 2. Détermination de $P(A),P(B),P(C)$ sous l'hypothèse $P(A)=2P(B)$ et $P(A)=\tfrac{1}{2}P(C)$. Posons $p_A=P(A)$, $p_B=P(B)$, $p_C=P(C)$. On a $p_A=2p_B$ et $p_C=2p_A$. La somme vaut $p_A+p_B+p_C=1$. En remplaçant $p_B=\tfrac{1}{2}p_A$ et $p_C=2p_A$ on obtient $p_A+\tfrac{1}{2}p_A+2p_A=\tfrac{7}{2}p_A=1$. D'où $p_A=\frac{2}{7}$, $p_B=\frac{1}{7}$ et $p_C=\frac{4}{7}$. (Observation : avec cette hypothèse on obtient $P(C)=\frac{4}{7}\approx0{,}5714$, donc la déclaration demandant $P(C)=\frac{1}{10}$ dans l'énoncé initial semble incompatible avec la phrase ambiguë. Si vous voulez que je démontre $P(C)=\frac{1}{10}$ veuillez préciser la donnée manquante.) 3. Arbre pondéré (description). Racine → branches vers A, B, C avec probabilités $\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{4}{7}$ respectivement. De chaque filière, branches vers F (fille) et G (garçon) avec probabilités conditionnelles données. 4. Probabilité de «être dans A et être fille» $=P(A\cap F)$. Calcul : $P(A\cap F)=P(A)P(F\mid A)=\frac{2}{7}\times0{,}20=\frac{2}{7}\times\frac{1}{5}=\frac{2}{35}$. Ainsi $P(A\cap F)=\frac{2}{35}\approx0{,}05714$. 5. Calcul de $P(F)$ (probabilité d'être une fille). On applique la formule des probabilités totales : $P(F)=P(A)P(F\mid A)+P(B)P(F\mid B)+P(C)P(F\mid C)$. Remplaçons par les valeurs : $P(F)=\frac{2}{7}\times\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}+\frac{4}{7}\times\frac{2}{5}$. Calcul détaillé : $\frac{2}{7}\times\frac{1}{5}=\frac{2}{35}$. $\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{70}$. $\frac{4}{7}\times\frac{2}{5}=\frac{8}{35}$. Somme : $\frac{2}{35}+\frac{1}{70}+\frac{8}{35}=\frac{4+1+16}{70}=\frac{21}{70}=\frac{3}{10}$. Donc $P(F)=\frac{3}{10}=0{,}3$. --- 1. Énoncé du second problème (analyse et dérivation). On considère $f$ définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$ par $f(x)=\dfrac{3x^{2}+2x+1}{x+1}$. 2. Domaine de définition. Le dénominateur $x+1$ s'annule pour $x=-1$, donc l'ensemble de définition est $\mathbb R\setminus\{-1\}$. 3. Division euclidienne et écriture simplifiée. Effectuons la division : $3x^{2}+2x+1=(x+1)(3x-1)+2$. Donc pour $x\neq-1$ on a $f(x)=3x-1+\dfrac{2}{x+1}$. 4. Limites à gauche et à droite de $-1$ et interprétation. Comme $f(x)=3x-1+\dfrac{2}{x+1}$, lorsque $x\to-1^{-}$ on a $x+1\to0^{-}$ donc $\dfrac{2}{x+1}\to-\infty$. Ainsi $\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=-\infty$. Lorsque $x\to-1^{+}$ on a $x+1\to0^{+}$ donc $\dfrac{2}{x+1}\to+\infty$. Ainsi $\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=+\infty$. Interprétation : la droite $x=-1$ est une asymptote verticale. 5. Limites en $+\infty$ et $-\infty$. En utilisant $f(x)=3x-1+\dfrac{2}{x+1}$, quand $x\to\pm\infty$ on a $\dfrac{2}{x+1}\to0$. Donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$. La droite d'équation $y=3x-1$ est une asymptote oblique. 6. Dérivée et variations. Calcul par la formule du quotient : pour $x\neq-1$, $ f'(x)=\dfrac{(6x+2)(x+1)-(3x^{2}+2x+1)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{3x^{2}+6x+1}{(x+1)^{2}}$. (Vérification par dérivation de $3x-1+\dfrac{2}{x+1}$ donne le même résultat.) Étudions le signe du numérateur $N(x)=3x^{2}+6x+1$. Le discriminant est $\Delta=6^{2}-4\cdot3\cdot1=36-12=24$. Les racines sont $x_{1}=\dfrac{-6-\sqrt{24}}{6}= -1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ et $x_{2}=\dfrac{-6+\sqrt{24}}{6}= -1+\dfrac{\sqrt{6}}{3}$. Comme $3>0$, $N(x)>0$ pour $xx_{2}$, et $N(x)<0$ pour $x_{1}-1$, $x+1>0$ donc $\dfrac{2}{x+1}>0$ et $f(x)>3x-1$ (la courbe est au-dessus de l'asymptote); - pour $x<-1$, $x+1<0$ donc $\dfrac{2}{x+1}<0$ et $f(x)<3x-1$ (la courbe est en-dessous de l'asymptote). Remarque : certaines demandes de l'énoncé original (valeurs numériques ou égalités données comme $f'(x)=\dfrac{-3x^{2}+1}{(x+1)^{2}}$ ou asymptote $y=-3x+4$) sont incompatibles avec la fonction donnée. J'ai fourni ici la dérivée et l'asymptote correctes. --- 1. Énoncé du troisième problème (EXERCICE 6, télévision). On sait que 50% des téléspectateurs ont regardé le match et que 16{,}2% des téléspectateurs ont regardé l'émission d'analyse qui suit le match. 2. Interprétation raisonnable et calcul. Hypothèse naturelle : l'émission d'analyse est regardée uniquement par des personnes qui ont vu le match (on suppose que les spectateurs de l'émission ont d'abord vu le match en direct). Sous cette hypothèse, la proportion de téléspectateurs qui ont regardé le match mais n'ont pas regardé l'émission vaut $P(\text{match})-P(\text{émission})$. Calcul : $0{,}50-0{,}162=0{,}338$. Donc 33{,}8% des téléspectateurs ont regardé le match mais pas l'émission d'analyse. Remarque : si l'émission a aussi été regardée par certains qui n'ont pas suivi le match, il faut connaître $P(\text{émission}\cap\text{match})$ pour un calcul exact. --- Synthèse finale des résultats sous les hypothèses précisées : - Probabilités des filières : $P(A)=\frac{2}{7}$, $P(B)=\frac{1}{7}$, $P(C)=\frac{4}{7}$. - $P(A\cap F)=\frac{2}{35}$. - $P(F)=\frac{3}{10}$. - Domaine de $f$ : $\mathbb R\setminus\{-1\}$. - Asymptotes : verticale $x=-1$ et oblique $y=3x-1$. - Dérivée : $f'(x)=\dfrac{3x^{2}+6x+1}{(x+1)^{2}}$ et variations déterminées ci-dessus. - Pour la télévision, proportion estimée de ceux qui ont vu le match sans voir l'émission : $33{,}8\%$. Si vous voulez que je réponde en utilisant une autre interprétation de la phrase ambiguë (par exemple pour obtenir $P(C)=\tfrac{1}{10}$), précisez la donnée manquante et je réajusterai les calculs.