1. Énoncé du problème : Nous avons un capital $C=40000$ placé à intérêts composés avec un taux annuel $\rho=0{,}08$ (8%). Le paiement annuel $y$ est donné par la fonction $$y = \frac{C \rho}{1 - (1+\rho)^{-x}} = g(x)$$ avec $x$ le nombre d'années du prêt. 2. Formule utilisée : La formule du paiement annuel pour un prêt à intérêts composés est $$y = \frac{C \rho}{1 - (1+\rho)^{-x}}$$ Cette formule calcule le montant annuel à payer pour rembourser un capital $C$ avec un taux $\rho$ sur $x$ années. 3. Domaine de définition $D_g$ : Le dénominateur $1 - (1+\rho)^{-x}$ ne doit pas être nul. Comme $1+\rho > 1$, $(1+\rho)^{-x} > 0$ pour tout $x$ réel. Donc, $$1 - (1+\rho)^{-x} \neq 0$$ ce qui est toujours vrai. Ainsi, $$D_g = \mathbb{R}^+$$ car $x$ représente un nombre d'années, il est positif. 4. Calcul des paiements annuels pour $x=3,5,7$ : - Pour $x=3$ : $$y = \frac{40000 \times 0{,}08}{1 - (1{,}08)^{-3}} = \frac{3200}{1 - \frac{1}{1{,}08^3}} = \frac{3200}{1 - \frac{1}{1{,}259712}} = \frac{3200}{1 - 0{,}7938} = \frac{3200}{0{,}2062} \approx 15518{,}5$$ - Pour $x=5$ : $$y = \frac{3200}{1 - (1{,}08)^{-5}} = \frac{3200}{1 - \frac{1}{1{,}469328}} = \frac{3200}{1 - 0{,}6806} = \frac{3200}{0{,}3194} \approx 10017{,}5$$ - Pour $x=7$ : $$y = \frac{3200}{1 - (1{,}08)^{-7}} = \frac{3200}{1 - \frac{1}{1{,}713824}} = \frac{3200}{1 - 0{,}5836} = \frac{3200}{0{,}4164} \approx 7681{,}3$$ 5. Conclusion : Le montant du paiement annuel diminue lorsque le nombre d'années $x$ augmente, car le prêt est étalé sur une plus longue période. Résumé : - $y(3) \approx 15518{,}5$ - $y(5) \approx 10017{,}5$ - $y(7) \approx 7681{,}3$ Le domaine de définition est $D_g = \mathbb{R}^+$.