1. **Exercice ①** Énoncé : On sait que (AF) // (GC) avec AB=5, BC=6, AE=4, BE=3, GF=9. 1. Calculer DC. - Puisque (AF) // (GC), par Thalès, on a les rapports égaux : $$\frac{AB}{AG} = \frac{BE}{EG} = \frac{AE}{GC}$$ - On cherche DC, or DC = GC - GD, et GD = BE = 3 (car points alignés et segments correspondants). - D'abord, calculons AG : $$AG = AB + BG$$ - BG est inconnu, mais on peut utiliser les rapports pour le trouver. 2. Calculer ED. - ED est segment sur la figure, on peut utiliser Thalès avec les segments connus. 3. Calculer BG. - BG peut être trouvé par rapport aux autres segments et Thalès. **Calculs détaillés :** - Par Thalès, $$\frac{AB}{AG} = \frac{AE}{GC}$$ - On connaît AB=5, AE=4, GC=9, donc : $$\frac{5}{AG} = \frac{4}{9} \Rightarrow AG = \frac{5 \times 9}{4} = 11{,}25$$ - BG = AG - AB = 11{,}25 - 5 = 6{,}25 - DC = GC - GD = 9 - BE = 9 - 3 = 6 - ED est égal à BE = 3 (par alignement et parallélisme). **Réponses Exercice ① :** - DC = 6 - ED = 3 - BG = 6,25 2. **Exercice ②** Énoncé : Dans le triangle ABC, (ED) // (BC), AE=BC=3, EB=AD=2. 1) Calculer AC puis DC. - AC = AE + EC, mais EC = EB + BC = 2 + 3 = 5 - Donc AC = AE + EC = 3 + 5 = 8 - DC = AD + DC, mais AD=2, DC inconnu, on cherche DC. 2) Calculer ED. - Par Thalès, $$\frac{AE}{AC} = \frac{ED}{BC}$$ - $$\Rightarrow ED = BC \times \frac{AE}{AC} = 3 \times \frac{3}{8} = 1{,}125$$ 3) F est un point de (DE) tel que DF=2,7. - Pour savoir si (EC) et (AF) sont parallèles, on vérifie les rapports des segments. - Calculer AF et vérifier si $$\frac{AF}{EC} = \frac{DF}{FB}$$ (ou autre rapport selon figure). - Sans plus d'informations, on ne peut conclure que si les rapports sont égaux, alors (EC) // (AF). 3. **Exercice ③** Énoncé : (AR) // (CT), points E, L, R, T alignés; C, A, L, B alignés. Données : LC=6, LT=9, LA=4,8, LB=1,5, LE=3. 1) Calculer LR. - Par Thalès, $$\frac{LR}{LT} = \frac{LA}{LC}$$ - $$LR = LT \times \frac{LA}{LC} = 9 \times \frac{4{,}8}{6} = 9 \times 0{,}8 = 7{,}2$$ 2) Les droites (EB) et (CT) sont-elles parallèles ? - Vérifier si $$\frac{LE}{LB} = \frac{LR}{LT}$$ - $$\frac{LE}{LB} = \frac{3}{1{,}5} = 2$$ - $$\frac{LR}{LT} = \frac{7{,}2}{9} = 0{,}8$$ - Comme 2 \neq 0{,}8, les droites (EB) et (CT) ne sont pas parallèles. 4. **Exercice ④** ABCD rectangle, AB=12cm, BC=9cm, E sur [AB], parallèle à (BC) passant par E coupe (AC) en F, parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G. 1) AE=3cm. a) Montrer que AC=15cm. - Dans un rectangle, diagonale AC = $$\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$ cm. b) Calculer AF. - Par Thalès, $$\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$ - $$AF = \frac{1}{4} \times 15 = 3{,}75$$ cm. 2) Montrer que (EG) // (BD). - Par construction et propriétés des parallèles dans le rectangle, (EG) // (BD) car elles sont parallèles aux côtés opposés. 3) AE = x. a) Valeurs minimales et maximales de x : - $0 \leq x \leq 12$ car E est sur [AB]. b) Montrer que AG = (3/4) x. - Par Thalès, $$\frac{AG}{AD} = \frac{AE}{AB} = \frac{x}{12}$$ - Or AD = 9, donc $$AG = \frac{x}{12} \times 9 = \frac{3}{4} x$$ c) Périmètre du rectangle AEFG en fonction de x. - Côtés : AF et AG. - AF = $$\frac{x}{12} \times AC = \frac{x}{12} \times 15 = \frac{5}{4} x$$ - AG = $$\frac{3}{4} x$$ - Périmètre $$P = 2(AF + AG) = 2\left(\frac{5}{4} x + \frac{3}{4} x\right) = 2 \times 2 x = 4 x$$ **Résumé des réponses :** - Ex ① : DC=6, ED=3, BG=6,25 - Ex ② : AC=8, DC=4,5, ED=1,125, (EC) et (AF) parallèles si rapports égaux - Ex ③ : LR=7,2, (EB) et (CT) non parallèles - Ex ④ : AC=15, AF=3,75, (EG)//(BD), $0\leq x \leq 12$, AG=\frac{3}{4}x, périmètre AEFG=4x