1. **Exercice ②** : Soit ABC un triangle avec (ED) // (BC), AE = BC = 3, EB = AD = 2. 1. Calculer AC puis DC. - On a AE = 3 et EB = 2 donc AB = AE + EB = 5. - Puisque (ED) // (BC), par Thalès, $$\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}$$. - On connaît AD = 2, donc $$\frac{3}{5} = \frac{2}{AC} \Rightarrow AC = \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$$. - Pour DC, on note que AC = AD + DC donc $$DC = AC - AD = \frac{10}{3} - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$$. 2. Calculer ED. - Par Thalès, $$\frac{ED}{BC} = \frac{AD}{AC} = \frac{2}{\frac{10}{3}} = \frac{2 \times 3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$$. - Comme BC = 3, $$ED = 0.6 \times 3 = 1.8$$. 3. F est un point de (DE) tel que DF = 2,7. Les droites (EC) et (AF) sont-elles parallèles ? - Cette question nécessite plus d'informations sur les points F, A, et les segments pour conclure. Avec les données fournies, on ne peut pas affirmer la parallélisme. 2. **Exercice ③** : (AR) // (CT), points E, L, R, T alignés; points C, A, L, B alignés. Données : LC=6, LT=9, LA=4.8, LB=1.5, LE=3. 1. Calculer LR. - Sur la droite E-L-R-T, on a LT = 9 et LE = 3 donc LR = LT - LE = 9 - 3 = 6. 2. Les droites (EB) et (CT) sont-elles parallèles ? - Par Thalès, vérifier $$\frac{LE}{LB} = \frac{LA}{LC}$$. - Calculer $$\frac{LE}{LB} = \frac{3}{1.5} = 2$$ et $$\frac{LA}{LC} = \frac{4.8}{6} = 0.8$$. - Comme 2 \neq 0.8, les droites (EB) et (CT) ne sont pas parallèles. 3. **Exercice ④** : Rectangle ABCD, AB=12 cm, BC=9 cm, E sur [AB], (EF) // (BC), (FG) // (CD). 1a. Montrer que AC = 15 cm. - Diagonale AC dans rectangle : $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$ cm. 1b. Calculer AF avec AE = 3 cm. - Par Thalès, dans triangle ABC, avec (EF) // (BC), $$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$$. - $$\frac{3}{12} = \frac{AF}{15} \Rightarrow AF = \frac{3 \times 15}{12} = \frac{45}{12} = 3.75$$ cm. 2. Montrer que (EG) // (BD). - Par construction et propriétés des parallèles dans rectangle, (EG) est parallèle à (BD) car (EF) // (BC) et (FG) // (CD) forment un parallélogramme AEFG, donc (EG) // (BD). 3a. Valeurs minimales et maximales de x = AE. - Puisque E est sur [AB], $$0 \leq x \leq 12$$. 3b. Montrer que AG = \frac{3}{4} x. - Par Thalès et propriétés du rectangle, on trouve $$AG = \frac{3}{4} x$$. 3c. Exprimer le périmètre du rectangle AEFG en fonction de x. - Les côtés sont AF et AG. - $$AF = \frac{5}{4} x$$ (par calcul similaire à 1b). - Périmètre $$P = 2 (AF + AG) = 2 \left( \frac{5}{4} x + \frac{3}{4} x \right) = 2 \times 2 x = 4 x$$. **Réponses finales :** - Ex 2 : DC = $\frac{4}{3}$, ED = 1.8, parallélisme non déterminé. - Ex 3 : LR = 6, (EB) et (CT) ne sont pas parallèles. - Ex 4 : AC = 15 cm, AF = 3.75 cm, (EG) // (BD), $0 \leq x \leq 12$, $AG = \frac{3}{4} x$, périmètre $P = 4 x$.