1. Énoncé du problème : Calculer les transformées de Laplace des fonctions usuelles suivantes à l'aide de la définition : $u(t)$, $tu(t)$, $e^{-at}u(t)$, $\cos(\omega t)u(t)$, $\sin(\omega t)u(t)$. 2. Rappel de la définition de la transformée de Laplace : $$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{+\infty} f(t)e^{-st} dt$$ 3. Transformée de $u(t)$ (fonction unité de Heaviside) : $$\mathcal{L}\{u(t)\} = \int_0^{+\infty} 1 \cdot e^{-st} dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{+\infty} = \frac{1}{s}$$ (Condition : $\operatorname{Re}(s) > 0$) 4. Transformée de $tu(t)$ : $$\mathcal{L}\{tu(t)\} = \int_0^{+\infty} t e^{-st} dt$$ On utilise l'intégration par parties avec : $u = t$, $dv = e^{-st} dt$, alors $du = dt$, $v = -\frac{e^{-st}}{s}$. \begin{align*} \mathcal{L}\{tu(t)\} &= \left. -\frac{t e^{-st}}{s} \right|_0^{+\infty} + \frac{1}{s} \int_0^{+\infty} e^{-st} dt \\ &= 0 + \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{s^2} \end{align*} (Condition : $\operatorname{Re}(s) > 0$) 5. Transformée de $e^{-at}u(t)$ : $$\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = \int_0^{+\infty} e^{-at} e^{-st} dt = \int_0^{+\infty} e^{-(s+a)t} dt = \frac{1}{s+a}$$ (Condition : $\operatorname{Re}(s+a) > 0$) 6. Transformée de $\cos(\omega t) u(t)$ : $$\mathcal{L}\{\cos(\omega t)u(t)\} = \int_0^{+\infty} \cos(\omega t) e^{-st} dt$$ On utilise la formule d'Euler : $\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}$, donc $$\int_0^{+\infty} \cos(\omega t) e^{-st} dt = \frac{1}{2} \left( \int_0^{+\infty} e^{-(s - i\omega) t} dt + \int_0^{+\infty} e^{-(s + i\omega) t} dt \right)$$ Chacune se calcule comme une exponentielle décroissante : $$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s - i\omega} + \frac{1}{s + i\omega} \right) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$ (Condition : $\operatorname{Re}(s) > 0$) 7. Transformée de $\sin(\omega t) u(t)$ : $$\mathcal{L}\{\sin(\omega t)u(t)\} = \int_0^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt$$ De même, avec la formule d'Euler $\sin(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}$ : $$\int_0^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt = \frac{1}{2i} \left( \int_0^{+\infty} e^{-(s - i\omega) t} dt - \int_0^{+\infty} e^{-(s + i\omega) t} dt \right)$$ $$= \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{s - i\omega} - \frac{1}{s + i\omega} \right) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$ (Condition : $\operatorname{Re}(s) > 0$) Réponses finales : - $\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$ - $\mathcal{L}\{tu(t)\} = \frac{1}{s^2}$ - $\mathcal{L}\{e^{-at}u(t)\} = \frac{1}{s+a}$ - $\mathcal{L}\{\cos(\omega t)u(t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$ - $\mathcal{L}\{\sin(\omega t)u(t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$