1. **Problem 10:** Znając, że funkcja liniowa $f$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla $x \in (-\infty, -8)$ oraz przechodzi przez punkt $P(0,4)$, wyznacz wzór funkcji. 2. Wzór funkcji liniowej to $f(x) = ax + b$. 3. Z warunku $f(0) = 4$ mamy $b = 4$. 4. Funkcja jest ujemna dla $x < -8$, więc dla $x = -8$ wartość funkcji to $f(-8) = a(-8) + 4 = 0$ (punkt zmiany znaku). 5. Stąd $-8a + 4 = 0 \Rightarrow a = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. 6. Ostatecznie wzór funkcji to $$f(x) = \frac{1}{2}x + 4$$. --- 7. **Problem 11:** Funkcja kwadratowa $f$ jest dodatnia tylko dla $x \in (-5,1)$ i przechodzi przez punkt $A(5,-20)$. 8. Wzór funkcji kwadratowej to $f(x) = a(x - p)(x - q)$, gdzie miejsca zerowe to $p = -5$ i $q = 1$ (bo funkcja jest dodatnia między tymi miejscami). 9. Zatem $$f(x) = a(x + 5)(x - 1)$$. 10. Podstawiamy punkt $A(5,-20)$: $$-20 = a(5 + 5)(5 - 1) = a(10)(4) = 40a \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$$. 11. Wzór funkcji: $$f(x) = -\frac{1}{2}(x + 5)(x - 1)$$. 12. Zbiór wartości funkcji to $$f(x) \leq 0$$ poza przedziałem $(-5,1)$, a maksimum funkcji jest w wierzchołku paraboli. 13. Wierzchołek paraboli: $$x_v = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$. 14. Obliczamy wartość wierzchołka: $$f(-2) = -\frac{1}{2}(-2 + 5)(-2 - 1) = -\frac{1}{2}(3)(-3) = \frac{9}{2} = 4.5$$. 15. Zbiór wartości to $$(-\infty, 4.5]$$. --- 16. **Problem 12:** Punkty $A,B,C$ leżą na okręgu o środku $S$, który leży na odcinku $AC$. Kąt $\angle ASB = 70^\circ$. 17. Kąt środkowy $\angle ASB$ opiera się na łuku $AB$, więc kąt wpisany $\angle ACB$ oparty na tym samym łuku ma miarę połowy, czyli $$35^\circ$$. 18. Ponieważ $S$ leży na $AC$, trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg, a $S$ jest środkiem okręgu. 19. Kąt $\angle ABC$ jest oparty na łuku $AC$, więc jego miara to $$70^\circ$$. 20. Suma kątów w trójkącie $ABC$ to $180^\circ$, więc $$\angle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 35^\circ = 75^\circ$$. 21. Miary kątów trójkąta $ABC$ to: $$\angle BAC = 75^\circ, \angle ABC = 70^\circ, \angle ACB = 35^\circ$$. --- 22. **Problem 13:** Trójkąt $ABC$ z $|AB|=4$, $|BC|=6$, $\angle ABC=60^\circ$. 23. Obliczamy długość $AC$ korzystając z twierdzenia cosinusów: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 36 - 24 = 28$$ 24. Zatem $$AC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$. 25. Pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi: $$P = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$. 26. Obwód trójkąta: $$O = AB + BC + AC = 4 + 6 + 2\sqrt{7} = 10 + 2\sqrt{7}$$. --- 27. **Problem 14:** Kwadrat $ABCD$, punkt $E$ dzieli bok $AD$ w stosunku $3:2$. 28. a) Obliczamy tangens kąta $\angle ABE$. 29. Przyjmijmy $AB = a$, więc $AD = a$. 30. Współrzędne punktów (przyjmując $A$ w $(0,0)$, $B$ w $(a,0)$, $D$ w $(0,a)$): - $E$ dzieli $AD$ na $3:2$, więc $E = (0, \frac{3}{5}a)$. 31. Wektor $BA = A - B = (-a, 0)$, wektor $BE = E - B = (-a, \frac{3}{5}a)$. 32. Tangens kąta między wektorami to stosunek długości rzutu prostopadłego do rzutu równoległego: $$\tan \angle ABE = \frac{|BE_y|}{|BE_x|} = \frac{\frac{3}{5}a}{a} = \frac{3}{5} = 0.6$$. 33. b) Pole trapezu $BCDE = 28$ cm². 34. Boki trapezu: - $BC = a$ (bok kwadratu), - $DE = a - \frac{3}{5}a = \frac{2}{5}a$, - wysokość trapezu to $BE_y = \frac{3}{5}a$. 35. Pole trapezu: $$P = \frac{(BC + DE)}{2} \times \text{wysokość} = \frac{a + \frac{2}{5}a}{2} \times \frac{3}{5}a = \frac{\frac{7}{5}a}{2} \times \frac{3}{5}a = \frac{7}{10}a \times \frac{3}{5}a = \frac{21}{50}a^2$$ 36. Równanie: $$\frac{21}{50}a^2 = 28 \Rightarrow a^2 = \frac{28 \times 50}{21} = \frac{1400}{21} = \frac{200}{3} \approx 66.67$$ 37. Pole kwadratu $ABCD$ to $$a^2 = \frac{200}{3}$$ cm². --- **Ostateczne odpowiedzi:** - Zadanie 10: $$f(x) = \frac{1}{2}x + 4$$ - Zadanie 11: $$f(x) = -\frac{1}{2}(x + 5)(x - 1), \quad \text{zbiór wartości } (-\infty, 4.5]$$ - Zadanie 12: Kąty trójkąta $ABC$ to $$75^\circ, 70^\circ, 35^\circ$$ - Zadanie 13: Pole $$6\sqrt{3}$$, obwód $$10 + 2\sqrt{7}$$ - Zadanie 14: a) $$\tan \angle ABE = \frac{3}{5}$$ b) Pole kwadratu $$\frac{200}{3}$$ cm²