1. Problemi: Të integrojmë funksionet racionale dhe iracionale. 2. Integrimi i funksioneve racionale: Një funksion racional është raporti i dy polinomëve, pra $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ ku $P$ dhe $Q$ janë polinomë. 3. Formula bazë: Për integrimin e funksioneve racionale përdoren metoda të ndryshme si: - Ndarja e pjesëve (partial fractions) kur $\deg(P) < \deg(Q)$. - Ndarja e polinomëve nëse $\deg(P) \geq \deg(Q)$. 4. Shembull i thjeshtë: Integrimi i $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx$. - Faktorizojmë emëruesin: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. - Shpërndajmë në fraksione të pjesshme: $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$. - Gjejmë $A$ dhe $B$ duke barazuar dhe zgjidhur sistemin. - Integrimi bëhet si $\int \frac{A}{x-1} dx + \int \frac{B}{x+1} dx = A \ln|x-1| + B \ln|x+1| + C$. 5. Integrimi i funksioneve iracionale: Këto përfshijnë rrënjët si $\sqrt{x}$, $\sqrt{x^2 + a^2}$, etj. 6. Metoda kryesore: Përdorimi i zëvendësimeve trigonometrike ose algebrike për të thjeshtuar rrënjët. 7. Shembull: Integrimi i $\int \sqrt{x} dx$. - Shkruajmë $\sqrt{x} = x^{1/2}$. - Përdorim formulën e fuqisë: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ për $n \neq -1$. - Kështu, $\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C$. Përmbledhje: Integrimi i funksioneve racionale kërkon shpërndarje në fraksione të pjesshme ose ndarje polinomiale, ndërsa integrimi i funksioneve iracionale kërkon shpesh zëvendësime për të thjeshtuar rrënjët.