1. **Pernyataan Masalah:** Kita akan mempelajari Teorema Aproksimasi Weierstrass yang menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada interval tertutup dapat didekati secara uniform oleh polinomial. 2. **Teorema Weierstrass:** Jika $f$ adalah fungsi kontinu pada interval $[a,b]$, maka untuk setiap $\,\varepsilon > 0$, terdapat polinomial $P(x)$ sehingga $$\|f - P\|_{\infty} = \max_{x \in [a,b]} |f(x) - P(x)| < \varepsilon.$$ Ini berarti polinomial dapat mendekati fungsi $f$ dengan ketelitian seberapa pun kecil. 3. **Penjelasan:** Teorema ini penting karena memungkinkan kita menggunakan polinomial yang sederhana untuk mendekati fungsi yang kompleks, memudahkan analisis dan komputasi. 4. **Contoh Soal:** Aproksimasi fungsi $f(x) = |x|$ pada interval $[-1,1]$ dengan polinomial derajat 2. 5. **Pembahasan:** Kita cari polinomial $P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ yang mendekati $f(x) = |x|$. 6. Misalkan kita gunakan metode kuadrat terkecil (least squares) untuk menentukan koefisien $a_0, a_1, a_2$ dengan meminimalkan $$\int_{-1}^1 (|x| - P(x))^2 dx.$$ 7. Setelah perhitungan integral dan penyelesaian sistem persamaan normal, diperoleh nilai koefisien yang menghasilkan polinomial aproksimasi terbaik. 8. **Kesimpulan:** Polinomial tersebut dapat digunakan untuk mendekati fungsi $|x|$ dengan kesalahan yang dapat diminimalkan sesuai kebutuhan. 9. **Rencana Pembelajaran:** - Pertemuan 1 (50 menit): Pengenalan teorema, konsep fungsi kontinu, dan polinomial. - Pertemuan 2 (50 menit): Contoh soal dan pembahasan aproksimasi fungsi $|x|$. - Pertemuan 3 (50 menit): Latihan soal dan diskusi aplikasi teorema. 10. Dengan pendekatan ini, mahasiswa tahun pertama dapat memahami konsep dasar dan aplikasi Teorema Aproksimasi Weierstrass secara bertahap dan praktis.