1. Diberikan vektor A = $-8\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$ dan vektor B = $-2\mathbf{i} - 9\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$. Kita diminta mencari sudut $\alpha$ antara kedua vektor dan sebuah vektor C yang tegak lurus terhadap A dan B. 2. Rumus sudut antara dua vektor adalah: $$\cos \alpha = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|}$$ Dimana $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ adalah hasil dot product dan $|\mathbf{A}|$, $|\mathbf{B}|$ adalah panjang vektor. 3. Hitung dot product: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (-8)(-2) + (2)(-9) + (-3)(4) = 16 - 18 - 12 = -14$$ 4. Hitung panjang vektor A dan B: $$|\mathbf{A}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 4 + 9} = \sqrt{77}$$ $$|\mathbf{B}| = \sqrt{(-2)^2 + (-9)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 81 + 16} = \sqrt{101}$$ 5. Hitung cos $\alpha$: $$\cos \alpha = \frac{-14}{\sqrt{77} \times \sqrt{101}} = \frac{-14}{\sqrt{7777}}$$ 6. Hitung sudut $\alpha$: $$\alpha = \cos^{-1} \left( \frac{-14}{\sqrt{7777}} \right)$$ Nilai ini dapat dihitung dengan kalkulator untuk mendapatkan derajat. 7. Untuk mencari vektor C yang tegak lurus A dan B, gunakan cross product: $$\mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -8 & 2 & -3 \\ -2 & -9 & 4 \end{vmatrix}$$ 8. Hitung determinan: $$\mathbf{C} = \mathbf{i}(2 \times 4 - (-3) \times (-9)) - \mathbf{j}(-8 \times 4 - (-3) \times (-2)) + \mathbf{k}(-8 \times (-9) - 2 \times (-2))$$ $$= \mathbf{i}(8 - 27) - \mathbf{j}(-32 - 6) + \mathbf{k}(72 + 4)$$ $$= -19\mathbf{i} + 38\mathbf{j} + 76\mathbf{k}$$ Jadi, sudut antara vektor A dan B adalah: $$\alpha = \cos^{-1} \left( \frac{-14}{\sqrt{7777}} \right)$$ dan vektor C yang tegak lurus A dan B adalah: $$\mathbf{C} = -19\mathbf{i} + 38\mathbf{j} + 76\mathbf{k}$$