1. **Menentukan masalah:** Diberikan dua vektor dalam $\mathbb{R}^3$: $$\mathbf{a} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}$$ $$\mathbf{b} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 5\mathbf{k}$$ Tugas: a. Gambar kedua vektor b. Cari sudut antara vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ c. Hitung hasil perkalian silang $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ dan panjangnya 2. **Gambar kedua vektor:** - Vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ dapat digambarkan sebagai panah di ruang tiga dimensi dengan komponen masing-masing sebagai koordinat. - Karena ini permintaan gambar, kita hanya menyatakan fungsi vektor untuk visualisasi. 3. **Mencari sudut antar vektor:** - Rumus sudut $\theta$ antara dua vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah: $$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$$ - Di mana $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ adalah hasil dot product dan $\|\mathbf{a}\|$, $\|\mathbf{b}\|$ adalah panjang vektor. 4. **Hitung dot product $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$:** $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(3) + (4)(-4) + (5)(-5) = 9 - 16 - 25 = -32$$ 5. **Hitung panjang vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$:** $$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ $$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ 6. **Hitung cos $\theta$ dan sudut $\theta$:** $$\cos \theta = \frac{-32}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{-32}{50} = -0.64$$ $$\theta = \cos^{-1}(-0.64) \approx 129.81^\circ$$ 7. **Hitung perkalian silang $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$:** $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 3 & -4 & -5 \end{vmatrix}$$ Hitung determinan: $$= \mathbf{i}(4 \times -5 - 5 \times -4) - \mathbf{j}(3 \times -5 - 5 \times 3) + \mathbf{k}(3 \times -4 - 4 \times 3)$$ $$= \mathbf{i}(-20 + 20) - \mathbf{j}(-15 - 15) + \mathbf{k}(-12 - 12)$$ $$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-30) + \mathbf{k}(-24) = 0\mathbf{i} + 30\mathbf{j} - 24\mathbf{k}$$ Jadi, $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\mathbf{i} + 30\mathbf{j} - 24\mathbf{k}$$ 8. **Hitung panjang $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$:** $$\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \sqrt{0^2 + 30^2 + (-24)^2} = \sqrt{0 + 900 + 576} = \sqrt{1476} = 2\sqrt{369}$$ **Jawaban akhir:** a. Vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ dapat digambarkan di ruang 3D dengan komponen yang diberikan. b. Sudut antara $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah sekitar $129.81^\circ$. c. Perkalian silang $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\mathbf{i} + 30\mathbf{j} - 24\mathbf{k}$ dengan panjang $2\sqrt{369}$.