1. Diketahui titik A(2, -3) dan B(-4, 1). Tentukan: a. Vektor AB adalah selisih koordinat B dan A: $$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-4 - 2, 1 - (-3)) = (-6, 4)$$ b. Panjang vektor AB dihitung dengan rumus: $$|\vec{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ c. Vektor satuan dari AB adalah vektor AB dibagi panjangnya: $$\hat{u} = \frac{1}{|\vec{AB}|} \vec{AB} = \frac{1}{2\sqrt{13}}(-6, 4) = \left(-\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}\right)$$ 2. Diketahui vektor u = (3, -1, 2) dan v = (-2, 4, -3). Tentukan: a. Penjumlahan vektor u + v: $$u + v = (3 + (-2), -1 + 4, 2 + (-3)) = (1, 3, -1)$$ b. Operasi 2u - 3v: $$2u - 3v = 2(3, -1, 2) - 3(-2, 4, -3) = (6, -2, 4) - (-6, 12, -9) = (6 + 6, -2 - 12, 4 + 9) = (12, -14, 13)$$ c. Perkalian titik (dot product) u · v: $$u \cdot v = 3(-2) + (-1)(4) + 2(-3) = -6 - 4 - 6 = -16$$ 3. Diketahui vektor a = (2, -3) dan b = (-1, 4). Tentukan sudut antara a dan b: Sudut $\theta$ antara dua vektor dihitung dengan rumus: $$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|}$$ Hitung dot product: $$a \cdot b = 2(-1) + (-3)(4) = -2 - 12 = -14$$ Hitung panjang vektor: $$|a| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ $$|b| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$ Maka: $$\cos \theta = \frac{-14}{\sqrt{13} \times \sqrt{17}} = \frac{-14}{\sqrt{221}}$$ Sudutnya: $$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-14}{\sqrt{221}}\right)$$ 4. Diketahui titik A(1, 2, -1), B(3, 0, 2), dan C(-2, 1, 3). Tentukan proyeksi vektor AB pada AC: Vektor AB: $$\vec{AB} = (3 - 1, 0 - 2, 2 - (-1)) = (2, -2, 3)$$ Vektor AC: $$\vec{AC} = (-2 - 1, 1 - 2, 3 - (-1)) = (-3, -1, 4)$$ Proyeksi vektor AB pada AC adalah: $$\text{proj}_{\vec{AC}} \vec{AB} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \vec{AC}$$ Hitung dot product: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2(-3) + (-2)(-1) + 3(4) = -6 + 2 + 12 = 8$$ Hitung kuadrat panjang AC: $$|\vec{AC}|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 4^2 = 9 + 1 + 16 = 26$$ Maka proyeksi: $$\text{proj}_{\vec{AC}} \vec{AB} = \frac{8}{26}(-3, -1, 4) = \left(-\frac{24}{26}, -\frac{8}{26}, \frac{32}{26}\right) = \left(-\frac{12}{13}, -\frac{4}{13}, \frac{16}{13}\right)$$ 5. Sebuah perahu bergerak dengan kecepatan (8, 6) km/jam dan arus sungai (2, -1) km/jam. Kecepatan resultan adalah penjumlahan kedua vektor: $$\vec{v}_{resultan} = (8 + 2, 6 + (-1)) = (10, 5)$$ Jadi kecepatan resultan perahu adalah (10, 5) km/jam.