1. Hitung banyak bilangan asli ≤ 1000 yang bukan kelipatan 4, 5, atau 6. 2. Hitung banyak permutasi dari {1,2,3,4,5,6} dimana 1 dan 6 tidak berada di ujung kiri atau kanan. 3. Buktikan bahwa dari sembarang 5 titik dalam segitiga sama sisi sisi 2 cm, ada sepasang titik berjarak ≤ 1 cm. 4. Buktikan bahwa dalam set A berisi 20 bilangan bulat, ada subset B dengan |B|=4 dimana selisih setiap pasang elemen kelipatan 6. 5. Buktikan bahwa dari 21 bilangan bulat yang diambil dari {1,6,11,...,196}, ada sepasang yang jumlahnya 197. --- 1. Masalah kelipatan: - Gunakan prinsip inklusi-eksklusi. - Banyak kelipatan 4: $\lfloor \frac{1000}{4} \rfloor = 250$ - Banyak kelipatan 5: $\lfloor \frac{1000}{5} \rfloor = 200$ - Banyak kelipatan 6: $\lfloor \frac{1000}{6} \rfloor = 166$ - Kelipatan 4 dan 5 (20): $\lfloor \frac{1000}{20} \rfloor = 50$ - Kelipatan 4 dan 6 (12): $\lfloor \frac{1000}{12} \rfloor = 83$ - Kelipatan 5 dan 6 (30): $\lfloor \frac{1000}{30} \rfloor = 33$ - Kelipatan 4,5,6 (60): $\lfloor \frac{1000}{60} \rfloor = 16$ Jumlah kelipatan 4,5,6: $$250 + 200 + 166 - 50 - 83 - 33 + 16 = 466$$ Jadi, bukan kelipatan 4,5,6: $$1000 - 466 = 534$$ 2. Permutasi 6 elemen dengan 1 dan 6 tidak di ujung: - Total permutasi: $6! = 720$ - Posisi ujung kiri dan kanan ada 2 tempat. - 1 dan 6 tidak boleh di ujung, jadi 1 dan 6 harus di posisi 2,3,4,5. Langkah: - Pilih posisi 1 dan 6 di posisi tengah (4 posisi), jumlah cara memilih posisi 1 dan 6 adalah $P(4,2) = 12$ - Tempatkan 1 dan 6 di posisi tersebut (2! cara) - Tempatkan sisa 4 angka di 4 posisi tersisa (4! cara) Total: $$12 \times 2! \times 4! = 12 \times 2 \times 24 = 576$$ 3. Bukti jarak ≤ 1 cm dari 5 titik dalam segitiga sama sisi sisi 2 cm: - Bagi segitiga menjadi 4 segitiga kecil sama sisi sisi 1 cm. - Dengan 5 titik dan 4 bagian, menurut prinsip pigeonhole, ada minimal 2 titik dalam satu segitiga kecil. - Jarak maksimum dalam segitiga kecil sisi 1 cm adalah 1 cm. - Jadi ada sepasang titik dengan jarak ≤ 1 cm. 4. Bukti subset B dengan |B|=4 dan selisih kelipatan 6: - Gunakan prinsip pigeonhole modulo 6. - Kelas modulo 6 ada 6 kelas: 0,1,2,3,4,5. - Dengan 20 bilangan, menurut pigeonhole, ada kelas modulo 6 dengan minimal $\lceil \frac{20}{6} \rceil = 4$ elemen. - Pilih 4 elemen dari kelas tersebut sebagai subset B. - Selisih tiap pasang elemen di kelas yang sama pasti kelipatan 6. 5. Bukti ada sepasang bilangan dari {1,6,11,...,196} yang jumlahnya 197: - Deret aritmatika dengan beda 5, 21 elemen. - Pasangan yang jumlahnya 197: - 1 + 196 = 197 - 6 + 191 = 197 - 11 + 186 = 197 - ... - Karena ada 21 elemen dan 10 pasangan yang jumlahnya 197, menurut pigeonhole, pasti ada sepasang yang jumlahnya 197. Jawaban: 1. 534 2. 576 3. Bukti dengan pembagian segitiga dan pigeonhole 4. Bukti dengan kelas modulo 6 dan pigeonhole 5. Bukti dengan pasangan jumlah 197 dan pigeonhole