1. Soal pertama meminta kita menentukan sistem persamaan linear (SPL), menyelesaikannya dengan metode matriks, dan mencari harga buku matematika dan bahasa Inggris. 2. Dari soal, misal: - $x$ = harga buku matematika - $y$ = harga buku bahasa Inggris 3. SPL yang terbentuk: Dari pembelian Azelia: $$5x + 4y = 350000$$ Dari pembelian Fidelia: $$10x + 6y = 635000$$ 4. Tuliskan bentuk matriks untuk SPL tersebut: Koefisien matriks $A = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 10 & 6 \end{bmatrix}$ Vektor variabel $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ Vektor konstanta $B = \begin{bmatrix} 350000 \\ 635000 \end{bmatrix}$ 5. Untuk menyelesaikan sistem, cari invers matriks $A$ jika ada: Determinan $\det(A) = 5 \times 6 - 10 \times 4 = 30 - 40 = -10 \neq 0$ sehingga $A$ invertible. 6. Matriks invers $A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ -10 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.6 & 0.4 \\ 1 & -0.5 \end{bmatrix}$ 7. Hitung $X = A^{-1} B$: $$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.6 & 0.4 \\ 1 & -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 350000 \\ 635000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-0.6)(350000) + (0.4)(635000) \\ (1)(350000) + (-0.5)(635000) \end{bmatrix}$$ $$x = -210000 + 254000 = 44000$$ $$y = 350000 - 317500 = 32500$$ 8. Jadi, harga satu buah buku matematika adalah Rp 44000 dan buku bahasa Inggris Rp 32500. --- 9. Soal kedua a) Tentukan penyelesaian sistem: $$\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$$ Koefisien matriks: $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$ Vektor konstanta: $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 10 \end{bmatrix}$ Determinan $\det(A) = 3\times 2 - 6\times 1 = 6 - 6 = 0$, matriks singular, jadi sistem ini tidak memiliki solusi unik (solusi tak hingga atau tidak konsisten). 10. Soal kedua b) Sistem: $$\begin{cases} 2x - y = -7 \\ 5x - 6y = -18 \end{cases}$$ Koefisien $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -6 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} -7 \\ -18 \end{bmatrix}$ Determinan $\det(A) = 2\times (-6) - 5\times(-1) = -12 + 5 = -7 \neq 0$, matriks invertible. 11. Matriks invers: $$A^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} -6 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6}{7} & -\frac{1}{7} \\ \frac{5}{7} & -\frac{2}{7} \end{bmatrix}$$ 12. Hitung solusi: $$X = A^{-1} B = \begin{bmatrix} \frac{6}{7} & -\frac{1}{7} \\ \frac{5}{7} & -\frac{2}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 \\ -18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{6}{7}(-7) + (-\frac{1}{7})(-18) \\ \frac{5}{7}(-7) + (-\frac{2}{7})(-18) \end{bmatrix}$$ $$x= -6 + \frac{18}{7} = -\frac{24}{7}$$ $$y = -5 + \frac{36}{7} = \frac{1}{7}$$ 13. Jadi solusi adalah $x= -\frac{24}{7}$ dan $y= \frac{1}{7}$. --- 14. Soal ketiga: Determinan matriks $3\times3$ 15. Matriks P: $$P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$ $$\det(P) = 1(4\times6 - 5\times5) - 3(2\times6 - 5\times3) + 3(2\times5 - 4\times3)$$ $$= 1(24 - 25) - 3(12 - 15) + 3(10 - 12) = 1(-1) - 3(-3) + 3(-2) = -1 + 9 - 6 = 2$$ 16. Matriks Q: $$Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\det(Q) = 1(1\times1 - 2\times(-1)) - 2(-1\times1 - 2\times2) + (-1)(-1\times(-1) - 1\times2)$$ $$= 1(1 + 2) - 2(-1 - 4) - 1(1 - 2) = 3 + 10 - 1 = 12$$ 17. Matriks R: $$R = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$$ $$\det(R) = 2(2\times4 - 3\times3) - 2(1\times4 - 3\times2) + (-2)(1\times3 - 2\times2)$$ $$= 2(8 - 9) - 2(4 - 6) - 2(3 - 4) = 2(-1) - 2(-2) - 2(-1) = -2 + 4 + 2 = 4$$ --- 18. Soal keempat: Cari invers matriks: $$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$ 19. Hitung determinan $A$: $$\det(A) = 2(3\times1 - 2\times2) - 1(1\times1 - (-1)\times2) + (-1)(1\times2 - 3\times(-1))$$ $$= 2(3 - 4) - 1(1 + 2) - 1(2 + 3) = 2(-1) - 3 - 5 = -2 - 3 - 5 = -10$$ 20. Determinan $\neq 0$ jadi invers ada. 21. Temukan matriks adjoint $\text{adj}(A)$ dengan menghitung kofaktor dan transpos: Kofaktor baris 1: $$C_{11} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = 3\times1 - 2\times2 = 3 - 4 = -1$$ $$C_{12} = -\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = - (1\times1 - 2\times (-1)) = - (1 + 2) = -3$$ $$C_{13} = \det \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = 1\times2 - 3\times(-1) = 2 + 3 = 5$$ Baris 2: $$C_{21} = -\det \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = - (1\times1 - (-1)\times2) = - (1 + 2) = -3$$ $$C_{22} = \det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = 2\times1 - (-1)\times (-1) = 2 -1 = 1$$ $$C_{23} = -\det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = - (2\times2 - 1\times (-1)) = - (4 + 1) = -5$$ Baris 3: $$C_{31} = \det \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = 1\times 2 - (-1)\times3 = 2 + 3 = 5$$ $$C_{32} = -\det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = - (2\times2 - (-1)\times1) = - (4 + 1) = -5$$ $$C_{33} = \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = 2\times3 - 1\times1 = 6 - 1 = 5$$ 22. Matriks kofaktor: $$C = \begin{bmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{bmatrix}$$ 23. Matriks adjoint $\text{adj}(A)$ adalah transpose dari kawanan kofaktor: $$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{bmatrix}$$ (simetris) 24. Matriks invers: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{10} \begin{bmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} & \frac{3}{10} & -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ --- 25. Soal kelima: Sistem 3 variabel: $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x + 5y - 2z = 3 \\ x + 7y - 7z = 5 \end{cases}$$ 26. Koefisien matriks: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 7 & -7 \end{bmatrix}$$ Vektor konstanta: $$B = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$$ 27. Hitung determinan $\det(A)$: $$\det(A) = 1(5\times (-7) - (-2)\times7) - 1(2\times (-7) - (-2)\times1) + 1(2\times7 - 5\times1)$$ $$= 1(-35 + 14) - 1(-14 + 2) + 1(14 - 5) = 1(-21) - 1(-12) + 1(9) = -21 + 12 + 9 = 0$$ Karena determinan 0, matriks $A$ singular, sehingga sistem tidak memiliki solusi unik. 28. Oleh karena itu, penyelesaian metode matriks invers tidak dapat digunakan langsung; harus cek apakah sistem konsisten atau memiliki solusi tak hingga. --- Jawaban lengkap dan rinci untuk semua soal telah disampaikan.