1. Diberikan himpunan $A = \{ x \mid -5 < x < 3, x \text{ bilangan bulat} \}$. Jadi, $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ karena hanya bilangan bulat antara -5 dan 3. 2. a. Tentukan relasi $R = \{(p,q) \mid q = 2p - 1, p, q \in A\}$. 1. Gunakan rumus $q = 2p - 1$. 2. Cek setiap $p \in A$ apakah $q$ juga anggota $A$. Hitung: - Untuk $p = -4$, $q = 2(-4) - 1 = -9$ (bukan anggota $A$). - $p = -3$, $q = 2(-3) - 1 = -7$ (bukan anggota $A$). - $p = -2$, $q = 2(-2) - 1 = -5$ (bukan anggota $A$ karena $-5$ tidak termasuk). - $p = -1$, $q = 2(-1) - 1 = -3$ (anggota $A$). - $p = 0$, $q = 2(0) - 1 = -1$ (anggota $A$). - $p = 1$, $q = 2(1) - 1 = 1$ (anggota $A$). - $p = 2$, $q = 2(2) - 1 = 3$ (bukan anggota $A$). Jadi, $R = \{(-1,-3), (0,-1), (1,1)\}$. 2. b. Tentukan $A \times A$. $A \times A$ adalah himpunan pasangan terurut $(a,b)$ dengan $a,b \in A$. Karena $|A|=7$, maka $|A \times A| = 7 \times 7 = 49$ pasangan. 2. c. Gambarlah diagram anak panah fungsi $f : A \to A$ dengan relasi kurang dari. 1. Fungsi $f$ memetakan setiap elemen $p \in A$ ke elemen $q \in A$ jika $p < q$. 2. Buat panah dari $p$ ke $q$ untuk semua $p,q \in A$ dengan $p < q$. Contoh: dari $-4$ ke $-3, -2, ..., 2$; dari $-3$ ke $-2, ..., 2$ dan seterusnya. 3. Lukis grafik fungsi berikut untuk $x$ real: a. $f(x) = \frac{|x|}{5x}$. 1. Perhatikan domain $x \neq 0$ karena pembagi $5x$ tidak boleh nol. 2. Jika $x > 0$, $|x| = x$, maka $f(x) = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$. 3. Jika $x < 0$, $|x| = -x$, maka $f(x) = \frac{-x}{5x} = -\frac{1}{5}$. 4. Jadi grafik adalah garis horizontal $y=\frac{1}{5}$ untuk $x>0$ dan $y=-\frac{1}{5}$ untuk $x<0$. b. Fungsi potong: $$h(x) = \begin{cases} x - 2 & x \leq -3 \\ x + 1 & -3 < x < 1 \\ 2 & x > 1 \end{cases}$$ 1. Untuk $x \leq -3$, grafik garis dengan gradien 1 dan intercept -2. 2. Untuk $-3 < x < 1$, grafik garis dengan gradien 1 dan intercept 1. 3. Untuk $x > 1$, grafik konstan $y=2$. 4. Soal cerita: c. Sebuah tali dipotong menjadi 8 potong dengan panjang terpanjang 20 m dan terpendek 2 m. 1. Misalkan panjang tali semula adalah $L$. 2. Jika potongan bervariasi antara 2 m dan 20 m, dan jumlah potongan 8, maka total panjang tali adalah jumlah semua potongan. 3. Jika diasumsikan potongan sama panjang, maka $L = 8 \times \text{panjang potong}$. Namun, karena ada potongan terpanjang dan terpendek, informasi kurang untuk menentukan $L$ secara pasti tanpa data tambahan. d. Bola dilepas dari ketinggian 3 m dengan daya pantul 0.5. 1. Panjang lintasan sampai bola berhenti adalah jumlah lintasan naik dan turun. 2. Lintasan pertama turun: 3 m. 3. Setelah pantulan, bola naik setinggi $3 \times 0.5 = 1.5$ m, lalu turun 1.5 m. 4. Pantulan berikutnya naik $1.5 \times 0.5 = 0.75$ m, turun 0.75 m, dan seterusnya. 5. Total lintasan adalah: $$3 + 2(1.5 + 0.75 + 0.375 + \cdots)$$ 6. Ini adalah deret geometri dengan suku pertama $a = 1.5$ dan rasio $r = 0.5$. 7. Jumlah deret tak hingga: $$S = \frac{a}{1-r} = \frac{1.5}{1-0.5} = 3$$ 8. Jadi total lintasan: $$3 + 2 \times 3 = 3 + 6 = 9 \text{ meter}$$ Jawaban akhir: - $R = \{(-1,-3), (0,-1), (1,1)\}$ - $|A \times A| = 49$ - Diagram anak panah relasi kurang dari dibuat sesuai definisi. - Grafik $f(x)$ adalah garis horizontal $y=\frac{1}{5}$ untuk $x>0$ dan $y=-\frac{1}{5}$ untuk $x<0$. - Grafik $h(x)$ sesuai fungsi potong di atas. - Panjang tali semula tidak dapat ditentukan dengan data yang ada. - Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 9 meter.