1. Muammo: Quyidagi qatorning yaqinlashishini tekshirish kerak: $$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left(\frac{3n-1}{4n+2}\right)^{2n}$$ 2. Qator yaqinlashishini tekshirish uchun odatda umumiy hadning limitini va qatorning umumiy ko'paytmasini tekshiramiz. 3. Avvalo, ichki ifodani soddalashtiramiz: $$a_n = n \cdot \left(\frac{3n-1}{4n+2}\right)^{2n}$$ 4. Ichki nisbatni ko'rib chiqamiz: $$\frac{3n-1}{4n+2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{3}{4}$$ 5. Demak, asosiy ifoda taxminan: $$a_n \approx n \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2n} = n \cdot \left(\frac{9}{16}\right)^n$$ 6. Endi $\left(\frac{9}{16}\right)^n$ geometrik qatorning umumiy hadlari bo'lib, $\frac{9}{16} < 1$. 7. $n \cdot r^n$ ko'rinishidagi qatorlar, agar $|r| < 1$, yaqinlashadi. 8. Shunday qilib, $a_n$ ning umumiy hadlari nolga yaqinlashadi va qator yaqinlashadi. 9. Yakuniy xulosa: Qator $$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left(\frac{3n-1}{4n+2}\right)^{2n}$$ yaqinlashadi.